No.2ベストアンサー
- 回答日時:
y=tan^-1(e^x)
tan(y)=e^x
両辺をxで微分
y'/{cos(y)}^2=e^x
y'=[{cos(y)}^2]*e^x
=(e^x)/[1+{tan(y)}^2]
=(e^x)/{1+e^(2x)}
となりますので微分は合っているようですね。
No.1
- 回答日時:
こんばんは。
tan^-1 は tan の逆関数(arctan)のことでしょうか?
そして、
e^x は、arctan の中に入る、つまり、
arctan(e^x)
ということでしょうか?
そうであるとして・・・
事前準備として、
y = e^x
z = arctan(e^x) = arctany
と置きます。
次に、arctan の微分を導出します。
(tanθ)’ = (sinθ/cosθ)’ = -{-(sinθ)'cosθ + sinθ(cosθ)'}/(cosθ)^2
= -{-(cosθ)^2 -(sinθ)^2}/(cosθ)^2
= {(cosθ)^2 +(sinθ)^2}/(cosθ)^2
= 1 + (tanθ)^2 = d(tanθ)/dθ
tanθ = t と置けば、
dt/dθ = 1 + t^2
よって、逆関数の微分より、
(arctant)' = dθ/dt = 1/(1+t^2)
では、本番です。
合成関数の微分より、
求める導関数 = dz/dy・dy/dx
= d/dy(arctany) ・ d/dx(e^x)
= 1/(1+y^2)・e^x
= 1/(1+e^(2x))・e^x
= e^x/(1+e^(2x))
( = 1/(e^(-x) + e^x ) = 1/{2cosh(x)} )
cosh(x) については、こちら。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8C%E6%9B%B2% …
以上、ご参考になりましたら。
(どっか、計算を間違えていたら、ごめんなさい。)
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