2次導関数の問題です。お詳しいかた教えてください。

画像の式の２次導関数を求める問題です。
tan^-1xではなくて,tan^-1(x^2)となっているところが分かりません。お詳しい方、どうぞよろしく
お願いします。

質問者からの補足コメント

• ありものがたりさん、私は、一応この方法で解いていたのですが、調べていて、tan＾-1[はアークtan]と言って別の仕方をしていたので、不安になったのです。
  
  ありがとうございました。安心しました。

  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2022/08/08 17:04

No.3 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/08/08 00:46

二次導関数を求めるんでしょう？

z = f(x) = tan^-1 y, y = x^2 のとき、
(d/dx) f(x) = dz/dx = (dz/dy)(dy/dx) = { 1/(dy/dz) }(dy/dx)
　　　　　　　　　　　　　　　　　= { 1/(1/(cos y)^2) }(2x) = 2x(cos y)^2.
(d/dx)^2 f(x) = (d/dx){ 2x(cos y)^2 }
　　　　　　= { (d/dx)(2x) }(cos y)^2 + (2x){ (d/dx)(cos y)^2 }
　　　　　　= { 2 }(cos y)^2 + (2x){ 2(cos y)(-sin y)(dy/dx) }
　　　　　　= 2(cos y)^2 - 4x(cos y)(sin y)(2x)
　　　　　　= 2cos(x^2) { cos(x^2) - 8(x^2)sin(x^2) }.

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2022/08/08 00:42

x^2 = y とおけば

　f(y) = tan^(-1)(y)

で
　df/dx = (df/dy)(dy/dx)
です。

2次導関数を求めたければ、それをさらに x で微分すればよい。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/08/07 21:47

「tan^-1xではなくて,tan^-1(x^2)となっているところが分かりません」ってどういうこと?

tan^-1 x の x の代わりに x^2 で計算しろってことだよ. 例えば x=3 だったら x^2 = 9 なので tan^-1 (x^2) = tan^-1 9 ってこと.