三角関数の問題、教えてください。 sinθ-cosθ=1/3のとき、 tanθ+1/tanθ の値を

三角関数の問題、教えてください。
sinθ-cosθ=1/3のとき、
tanθ+1/tanθ
の値を求めよ。

質問者からの補足コメント

• 皆さんわかりやすい回答ありがとうございました。

    補足日時：2023/01/20 23:39

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/01/20 18:15

cosθ=0 とすると sinθ=±1なので　与式を満たさない。

したがって、cosθ≠0 .
さらに　tanθ≠0


すると、与式は
　3(tanθ-1)=1/cosθ
両辺を2乗して
　9(tan²θ-2tanθ+1)=1/cos²θ=1+tan²θ
→ 8tan²θ-18tanθ+8=0
ここで、tanθ=0 なら、与式を満たさず、tanθ≠0.
すると
→ 8(tanθ+1/tanθ)-18=0
→ tanθ+1/tanθ=9/4

No.2 回答者： kairou 回答日時： 2023/01/20 19:12

sinθ-cosθ=1/3 ならば 1/3>0 ですから、

両辺を 二乗して、tanθ=sinθ/cosθ として計算すれば。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/01/20 19:22

普通にやればいいんじゃない？

tanθ + 1/tanθ = sinθ/cosθ + cosθ/sinθ
　　　　　　　　= ( (sinθ)^2 + (cosθ)^2 )/( sinθcosθ)
　　　　　　　　= 1/(sinθcosθ).

sinθ - cosθ = 1/3
の両辺を2乗すると、
1/9 = (sinθ - cosθ)^2
　　= (sinθ)^2 - 2(sinθcosθ) - (cosθ)^2
　　= 1 - 2(sinθcosθ)
より
sinθcosθ = (1 - 1/9)/2 = 4/9.

これを上式へ代入して、
tanθ + 1/tanθ = 1/(4/9) = 9/4.