sinθ+cosθ=1/3のとき、次の式の値を求めよ。という問題があります｡ (1)sinθcosθ

sinθ+cosθ=1/3のとき、次の式の値を求めよ。という問題があります｡

(1)sinθcosθ
問題集の途中式が、
(sinθcosθ)^2=1+2sinθcosθだから
sinθcosθ=1/2{(1/3)^2-1}=－4/9
となるそうですが
(sinθcosθ)^2=1+2sinθcosθの式はわかるのですが、その下段の式
sinθcosθ=1/2{(1/3)^2-1}がどうしてこのように立式できるかわからずにいます。
教えていただけないでしょうか？

No.4 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/08/16 22:05

＞ (sinθcosθ)^2=1+2sinθcosθの式はわかるのですが

それがわかっちゃダメですよ。 その式は間違えています。
正しくは、(sinθ + cosθ)^2 = 1 + 2sinθcosθ です。
(sinθ + cosθ)^2 = (sinθ)² + 2sinθcosθ + (cosθ)^2 と
(sinθ)² + (cosθ)^2 = 1 から
(sinθ)² + (cosθ)^2 を消去するんですからね。

この式に sinθ + cosθ = 1/3 を代入すれば
(1/3)^2 = 1 + 2sinθcosθ になりますから、
これを sinθcosθ についての一次方程式と見て解けば
sinθcosθ = { (1/3)^2 - 1 }/2 = sinθcosθ です。

この回答へのお礼

助かりました。

お礼日時：2021/08/17 14:12

No.3 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2021/08/16 13:34

sin²θ+cos²θ=1は常に成立つ

(sinθ+cosθ)²=sin²θ+cos²θ+2sinθ･cosθ=1+2sinθ･cosθ

(1/3)²=1+2sinθ･cosθ

∴sinθ･cosθ=(1/9-1)/2=-4/9

この回答へのお礼

途中式つきの解説役立たせていただきました。感謝に尽きません。

お礼日時：2021/08/17 14:12

No.2 回答者： ちゃおお 回答日時： 2021/08/16 13:30

おそらく解答見間違えてますよ。

(sinθcosθ)^2ではなく(sinθ+cosθ)^2になってるはずです。
展開式は1+2sinθcosθで、sinθ+cosθ=1/3なので
1+2sinθcosθ=(sinθ+cosθ)^2
=(1/3)^2
よって、sinθcosθ=の式直すと不思議であった部分がわかると思います。
問題集何度見ても、(sinθcosθ)^2のままなら、出版社からお金取れますよ。

この回答へのお礼

ご指摘の通り

(sinθ + cosθ)^2=～　　でございました。
大変助かりました。

お礼日時：2021/08/17 14:11

No.1 回答者： neKo_deux 回答日時： 2021/08/16 13:26

> (sinθcosθ)^2=1+2sinθcosθの式はわかるのですが、

いや、式が間違ってると思うけど。
わかっちゃダメです。

(sinθ + cosθ)^2=～
なのでは。

この回答へのお礼

仰せの通り

(sinθ + cosθ)^2=～　　　でした。
早めのご指摘感謝します。

お礼日時：2021/08/17 14:09