3倍角の公式

高校２年生のものです。
数学の先生が京大の先生で、この前sin3xの簡単な出し方を説明していたのですがイマイチわかりませんでした。
その先生は(cosx+isinx)^2=cos^2x-sin^2x+i2sinxcosx=cos2x+isin2x=√2×sin(2x-π/4)
あと行列の
（cosx -sinx） 　　　 (1 0) 　　(0 -1)
(sinx 　 cosx)=cosx(0 1)+sin(1 0)
を使って解いてました。
ここまではノートに取れたのですが、そこから先をどうやったのかわかりません。
どう計算したらいいか教えてください。

No.4 回答者： noname#47894 回答日時： 2007/12/23 14:27

旧課程では選択必修だった数学Bの「複素平面」で扱われた内容の一つである　「ド・モアブルの公式」　から導けます。

（オイラーの公式にまで広げなくても理解は可能です）。

(cosθ + i・sinθ)^n = cosnθ + i・sinnθ　（n:整数）

です。
3倍角の公式が欲しければ
(cosθ + i・sinθ)^3 = cos3θ + i・sin3θ　
として、左辺を展開して、実部＝cos3θ、虚部＝sin3θ　とすれば導けます。

現在の高校の数学では、複素平面そのものを扱わないので、範囲から逸脱しているといえば逸脱しています。
しかし、数年前の高校生が勉強していた内容ですので（当然、センター試験でも出題されていました）、複素平面の性質が理解できれば、上記の公式も理解できます。
左辺を２項定理で展開し、cos^2(θ) + sin^2(θ)＝１　などを使えば、何倍角の公式でも、導くことが可能なはずです（やりたくはないですが）。

回転行列は現在の数学Cで扱います。

（cosx -sinx)　をn乗すると、（cosnx -sinnx)　
(sinx 　 cosx)　　　　　　　　　　(sinnx 　 cosnx)
になるはずで（xの回転をｎ回行うのだから）、
あとは、
(1 0)　をE （単位行列）
(0 1)

(0 -1)　をI　とでもおくと、
(1 0)

（Ecosx＋Isinx）^3＝（Ecos3x＋Isin3x）

あとは、I^2＝-E　などを使い、頑張って展開すれば所望の公式を得られるはずです。

No.3 回答者： kabaokaba 回答日時： 2007/12/23 13:53

高校の範囲は超えてないと思います．

こういう公式があるんです

(cos(x) + i sin(x))^n = cos(nx) + i sin(nx)
n は自然数
＃実際は n は自然数でなくてもいいんだけど，そうなると
＃高校の範囲を超えてしまう

この式そのものは数学的帰納法と加法定理で簡単に証明できます．
ちなみに，
(cos(x) + i sin(x)) (cos(y) + i sin(y))
= cos(x+y) + i sin(x+y)
ってのも加法定理から証明できます．
逆に言えば，「展開」さえできれば加法定理はその場で計算できます．

n=2とすれば
(cos(x)+isin(x))^2=cos(2x)+isin(2x)
なんだから
左を展開すればcos(2x)とsin(2x)がでてくるという寸法．
＃わざわざ合成してsinだけにしてる意図は不明です．

同様にn=3とすれば
(cos(x)+isin(x))^3=cos(3x)+isin(3x)
左辺を計算すれば
cos^3(x)+3cos^2(x) i sin(x) - 3cos(x)sin^2(x) -i sin^3(x)
= cos^3(x) -3 cos(x)sin^2(x)
+ i ( -sin^3(x) + 3cos^2(x)sin(x) )
ここで，cos^2(x)+sin^2(x)=1 を使えば
= 4cos^3(x) - 3 cos(x)
+ i( 3sin(x)-4sin^3(x) )
となって，三倍角がすぐ出てくるというわけ

つまり
公式を忘れても，展開さえできれば
何倍角の公式でもすぐ出せるということで
さらに加法定理を忘れても，やっぱり展開だけですぐ出せるのです．
私は受験のときはこの手で公式をその場で作ってました．

回転行列の方も同様です．
ポイントは
(1 0)
(0 1)が 1 に相当して
(0 -1)
(1 0)が i に相当することです．

No.2 回答者： koko_u_ 回答日時： 2007/12/23 13:35

>計算を見てて思ったんですが、やっぱりやってることは

> 高校レベルを逸脱してますよね？
回転行列の方は高校生でも理解可能だと思うよ。

No.1 回答者： koko_u_ 回答日時： 2007/12/23 12:21

>数学の先生が京大の先生で

京大卒という意味か？

>(cosx+isinx)^2=cos^2x-sin^2x+i2sinxcosx=cos2x+isin2x=√2×sin(2x-π/4)
よくわからんけど、多分オイラーの公式

e^(ix) = cos(x) + i sin(x)

を念頭に置いているのでしょう。これを辺々 3 乗すれば

e^(3ix) = {cos(x) + i sin(x)}^3

左辺にふたたびオイラーの公式を適用して、右辺を普通に展開する。

>あと行列の
こっちは多分回転行列 R(θ)について、やはり

3 回転 ＝ 行列の 3 乗

を念頭に置いて

R(3θ) = R(θ)^3

を計算しているのでしょう。

この回答へのお礼

ありがとうございました。
京大卒の先生です。
オイラーの公式は聞いたことはありますが、その内容は全然知りません。
計算を見てて思ったんですが、やっぱりやってることは高校レベルを逸脱してますよね？今の自分には無理です。

お礼日時：2007/12/23 13:22