固有ベクトルについて

この問題の解き方がわかりません。
どうすれば固有ベクトルを求められますか？
cosΘ　-sinΘ
sinΘ　cosΘ
という行列です

No.2 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2020/06/02 06:11

固有ベクトルを求める前に

固有値を求めましょう
固有値をtとすると
|t-cosθ,sinθ|
|-sinθ,t-cosθ|
=(t-cosθ)^2+(sinθ)^2=0

t=cosθ+isinθ=e^(iθ)
t=cosθ-isinθ=e^(-iθ)

sinθ=0の時

θ=0又はθ=π
θ=0の時
固有値t=e^(0)=1
(cos0,-sin0)=(1,0)
(sin0,cos0.).(0,1)
任意のベクトル(x;y)に対して
(1,0)(x)=(x)
(0,1)(y).(y)
が成り立つから
すべてのベクトル(x;y)が固有値1に対する固有ベクトルとなる

θ=πの時
固有値t=e^(iπ)=-1
(cosπ,-sinπ)=(-1,0)
(sinπ,cosπ.).(0,-1)
任意のベクトル(x;y)に対して
(-1,0)(x)=(-x)
(0,-1)(y).(-y)
が成り立つから
すべてのベクトル(x;y)が固有値-1に対する固有ベクトルとなる

sinθ≠0の時

固有値e^(iθ)に対する
固有ベクトルを(x;y)とすると
(cosθ,-sinθ)(x)=(xe^(iθ))
(sinθ,cosθ.)(y).(ye^(iθ))

xcosθ-ysinθ=x(cosθ+isinθ)
xsinθ+ycosθ=y(cosθ+isinθ)

-ysinθ=xisinθ
↓sinθ≠0だから
-y=ix
y=-ix
だから
(x;y)=(x;-ix)=x(1;-i)
固有値e^(iθ)に対する
固有ベクトルは
(1;-i)

固有値e^(-iθ)に対する
固有ベクトルを(x;y)とすると
(cosθ,-sinθ)(x)=(xe^(-iθ))
(sinθ,cosθ.)(y).(ye^(-iθ))

xcosθ-ysinθ=x(cosθ-isinθ)
xsinθ+ycosθ=y(cosθ-isinθ)

-ysinθ=-xisinθ
↓sinθ≠0だから
y=ix
だから
(x;y)=(x;ix)=x(1;i)
固有値e^(-iθ)に対する
固有ベクトルは
(1;i)

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2020/06/01 23:21

素直に普通に計算すればいい.