0<x<π/2で 4x-6sin(x)+sin(2x)+4cos(x)-cos(2x)<3 が成り立

0<x<π/2で
4x-6sin(x)+sin(2x)+4cos(x)-cos(2x)<3
が成り立つことの証明を教えて下さい。

思いつく限りの方法は全て試したのですが、
どれも上手くいきませんでした。
皆さんの力が必要です。

よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： yukkurine 回答日時： 2022/06/18 06:15

f(x)=4x-6sin(x)+sin(2x)+4cos(x)-cos(2x)

f'(x)
=4-6cos(x)+2cos(2x)-4sin(x)+2sin(2x)
=4cos^2(x)−6cos(x)+2−4sin(x)+4sin(x)cos(x)
=4t^2-6t+2-4√(1-t^2)+4t√(1-t^2)　(t=cosx)
=2(t-1)(2√(1-t^2)+2t-1)

0<x<Π/2ならば0<t<1

g(t)=2√(1-t^2)+2t-1
g'(t)=2-(2t/√(1-t^2))
g'(t)=0 →　t=1/√2

t 0 1/√2 1
g'(t) + 0 -
g(t) 1 2√2-1 1

よって
0<t<1 g(t)>0
0<t<1 f'(x)=2(1-t)g(t)<0
0<x<Π/2 f'(x)<0
0<x<Π/2でf(x)は単調減少

f(0)=3
0<x<Π/2
4x-6sin(x)+sin(2x)+4cos(x)-cos(2x)<3

この回答へのお礼

とてもよく分かりました。
このような正統な解き方があるとは思いもしませんでした。
ありがとうございました。

お礼日時：2022/06/18 10:50