θ=π/2 のまわりでの
f(θ)=sinθ/cosθのローラン展開は
f(θ)
=sin(θ)/cos(θ)
=-cos(θ-π/2)/sin(θ-π/2)
=-cot(θ-π/2)
=1/(θ-π/2)-(θ-π/2)/3 -(θ-π/2)^3/45 - (2/945)*(θ-π/2)^5 - ...
となりますが、
f(θ)
=sin(θ)/cos(θ)
=1/0
=∞
ともなるため、
1/(θ-π/2)-(θ-π/2)/3 -(θ-π/2)^3/45 - (2/945)*(θ-π/2)^5 - ...=∞と言うことなのでしょうか?
No.5ベストアンサー
- 回答日時:
①
ただのθ=π/2のみの時はローラン展開はできません
θ=π/2 のまわりでの
f(θ)=sinθ/cosθのローラン展開は定義域は
0<|θ-π/2|<π
なのでθ=π/2となりません
θ≠π/2
②
ローラン展開そのままでθ→π/2としても発散するだけなので
θ→π/2はしません無意味なことはやめましょう
(θ-π/2)をかけてから
lim_{θ→π/2}(θ-π/2)f(θ)
とするのです
③
ローラン展開そのままでθ→π/2としても発散するだけなので
θ→π/2はしません無意味なことはやめましょう
(θ-π/2)をかけてから
lim_{θ→π/2}(θ-π/2)f(θ)
とするのです
④
f(θ)=
sin(θ)/cos(θ)=-1/(θ-π/2)-(θ-π/2)/3 -(θ-π/2)^3/45 - (2/945)*(θ-π/2)^5 - ...
↓a(-1)=-1,a(0)=0,a(1)=-1/3,a(2)=0,a(3)=-1/45,a(4)=0,a(5)=-2/945,だから
sin(θ)/cos(θ)=a(-1)/(θ-π/2)+a(1)(θ-π/2)+a(3)(θ-π/2)^3+a(5)(θ-π/2)^5+…
↓両辺に(θ-π/2)をかけると
(θ-π/2)sin(θ)/cos(θ)=a(-1)+a(1)(θ-π/2)^2+a(3)(θ-π/2)^4+a(5)(θ-π/2)^6+…
↓θ→π/2とすると
lim_{θ→π/2}(θ-π/2)sin(θ)/cos(θ)=a(-1)
ありがとうございます。
θ=π/2のみの時は
f(π/2)
=sin(π/2)/cos(π/2)
=1/0
=∞
となり、
分母が0になり、④の解答のようにローラン展開自体が出来ず∞になる。ローラン展開自体が出来ないため④の解答のような
「f(θ)=
sin(θ)/cos(θ)=-1/(θ-π/2)-(θ-π/2)/3 -(θ-π/2)^3/45 - (2/945)*(θ-π/2)^5 - ...
↓a(-1)=-1,a(0)=0,a(1)=-1/3,a(2)=0,a(3)=-1/45,a(4)=0,a(5)=-2/945,だから
sin(θ)/cos(θ)=a(-1)/(θ-π/2)+a(1)(θ-π/2)+a(3)(θ-π/2)^3+a(5)(θ-π/2)^5+…」
などがないためa(n)の式は存在しないとわかりました。
また、
θ=π/2(θ→π/2)の時は、④の解答より、
各a(n)が求めるが、ローラン展開は∞となる事がわかりました。
結果θ=π/2のみの場合とθ=π/2(θ→π/2)の場合で過程の計算が違ったりa(n)が存在しない場合があるが、式は∞になるとわかりました。
No.4
- 回答日時:
θ=π/2 のまわりでの
f(θ)=sinθ/cosθのローラン展開の定義域は
0<|θ-π/2|<π
なのでθ=π/2となりません
θ≠π/2
a(-1)=lim_{θ→π/2}(θ-π/2)f(θ)=lim_{θ→π/2}(θ-π/2)sinθ/cosθ=-1
の
lim_{θ→π/2}
は
θ≠π/2のままでθをπ/2に近づけるという意味であって
θ=π/2とするのではありません
θ≠π/2
ありがとうございます。
すいません伝え方が悪かったです。
お聞きしたい事が4つあります。
①
ただのθ=π/2のみの時はローラン展開は
1/(θ-π/2)…=1/(π/2-π/2)…=1/0…=∞となり分母が0になるため、ローラン展開が∞になるためa(n)の式は無いですが、
なぜローラン展開が=∞の時はa(n)の式は無いのでしょうか?
②
θ=π/2としてθ→π/2の時、
ローラン展開の式の分母が小さくなるためローラン展開は1/(θ-π/2)…=∞となると思うのですが、θ=π/2としてθ→π/2の時、ローラン展開は1/(θ-π/2)…=∞より∞となるため、
a(n)の式は存在しないのでしょうか?
仮にθ=π/2としてθ→π/2の時の a(n)が存在する場合はθ=π/2としてθ→π/2の時のa(n)の式を導くまでを教えて頂きたいです。
③
確認として、
θ=π/2としてθ→π/2の時は、
1/(θ-π/2)…=1/(π/2-π/2)…=1/0…=∞ではなく、
1/(θ-π/2)…=∞となると思うのですが正しいでしょうか?
θ→π/2により、分母が小さくなるため∞になると考えました。
④
また、
頂いた解答の
>>「a(-1)=lim_{θ→π/2}(θ-π/2)f(θ)=lim_{θ→π/2}(θ-π/2)sinθ/cosθ=-1」
に関して
a(-1)=lim_{θ→π/2}(θ-π/2)f(θ)
の式はどうやって導かれたのでしょうか?
No.2
- 回答日時:
θ=π/2として、
f(π/2)
=sin(π/2)/cos(π/2)
=1/0
=∞
となるため、
θ=π/2の時、
1/(θ-π/2)…=1/(π/2-π/2)…=1/0…=∞
ということ
なるほど、ありがとうございます。
では、
θ=π/2の時、
1/(θ-π/2)-(θ-π/2)/3 -(θ-π/2)^3/45 - (2/945)*(θ-π/2)^5 - ...=∞
となり、以上より
θ=π/2でf(π/2)は∞になりますが、
θ=π/2でf(π/2)の時は
a(n)の式は作れないということでしょうか?
No.1
- 回答日時:
f(θ)
=sin(θ)/cos(θ)=1/0となりません間違いです
f(π/2)
=sin(π/2)/cos(π/2)
=1/0
=∞
となるため
1/(π/2-π/2)=1/0=∞
ということ
ありがとうございます。
θ=π/2として、
f(π/2)
=sin(π/2)/cos(π/2)
=1/0
=∞
となるため、
θ=π/2の時、
1/(θ-π/2)-(θ-π/2)/3 -(θ-π/2)^3/45 - (2/945)*(θ-π/2)^5 - ...=∞と言うことなのでしょうか?
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