アーク計算

アークサイン＋アークコサインの計算方法および答えを教えてください。

No.4 ベストアンサー 回答者： Suue 回答日時： 2007/06/02 13:53

微分を使ってもできます。

arcsinx＋arccosx　を、逆関数の微分公式を使ってｘで微分します。すると、この導関数が０であることがわかります。

導関数が０であるということは、もとの関数はｘの値に関わらず定数です。あとはｘ＝０を代入して、

arcsin0＋arccos0 ＝ π/2　なので、ｘについて恒等的に
arcsinx＋arccosx ＝ π/2　であることが証明されます。

この回答へのお礼

微分使ってやるのは凄いです！！
貴重な意見ありがとうございました。

お礼日時：2007/06/02 19:31

No.3 回答者： zk43 回答日時： 2007/06/02 12:02

アークサインｘ＝A、アークコサインｘ＝Bとおくと、

サインA＝ｘ、コサインB＝ｘ
コサインA＝√（１－ｘ）の２乗、サインB＝√（１－ｘ）の２乗
斜辺の長さが１で、残りの２辺の長さがｘ、√（１－ｘ）の２乗
の直角三角形を描くとわかりますが、A+B＝90度です。
あるいは、加法定理を使ってサイン（A+B)＝１よりA+B＝90度

この回答へのお礼

なるほど。加法定理は思いつきませんでした。
ありがとうございました。

お礼日時：2007/06/02 19:29

No.2 回答者： info22 回答日時： 2007/06/02 03:21

直角三角形を描いて角と「辺の比」の対応を絶えず意識しながら計算します。

ここでは角度をラジアン[rad]単位で考えています。

また次の関係もあります。
arcsinA=arccos√(1-A^2)
arccosA=arcsin√(1-A^2)
arcsinA+arccosA=π/2

さらに主要なarcsin、arccosの角度も覚えておいて下さい。

arcsin(1/2)=arccos{(√3)/2}=π/6
arccos(1/2)=arcsin{(√3)/2}=π/3
arcsin(1/√2)=arccos(1/√2)=π/4
arcsin(1)=arccos(0)=π/2
arccos(1)=arcsin(0)=0

実例
arcsin(1/2)+arccos(1/2)=π/2
arcsin(3/5)+arccos(4/5)=2*arcsin(3/5)
arcsin(2/3)+arccos{(√5)/2}=arccos(1/3)
arcsin(1/2)+arccos{(√5)/3}=arccos(1/3)
arcsin(1/√2)+arccos(1/√5)=(π/4)+arctan(2)

など

この回答へのお礼

覚えておきます。
ありがとうございました。

お礼日時：2007/06/02 19:28

No.1 回答者： u-ryukyu 回答日時： 2007/06/02 01:08

ちょっと、それだけじゃわかりにくいですねぇ。

一応、arcsinX+arccosX　についてやってみます。
α=arcsinX,β=π/2-α　とおくと
sinα=Xかつ-π/2≦α≦π/2,0≦β≦π　である。このとき、
cosβ=cos(π/2-α)=sinα=X
よって
arccosX=β=π/2-α=π/2-arcsinX
これより、
arcsinX+arccosX=π/2
これで、いかかでしょうか？わかりました？

この回答へのお礼

すごいうまいやりかたですね。
よくわかりました。ありがとうございます。

お礼日時：2007/06/02 19:27