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問題 「x+y=3のとき、x² + y² の最小値とその時のx,yの値を求めよ。」

の解き方を教えてください。

答えは x=2分の3、y=2分の3のとき最小値2分の9

です。

高一の数学です。

A 回答 (5件)

解き方は、星の数ほどあります。

その一つを紹介しましょう。

2(x^2+y^2)=(x+y)^2+(x-y)^2=9+(x-y)^2

ですから、x^2+y^2 は、x=y(=3/2)のとき、その最小値 9/2 を取ります。
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xy平面上において、原点を中心とし、かつ、直線x+y=3と交わる円のうち、半径が最も小さい円Cの半径の2乗の値を求めなさい。

また、その時、円Cと直線x+y=3との交点を求めなさい。

イメージできそうな感じに言い換えてみました。
参考程度でお願いします。
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x=rcosθ, y=rsinθ {r≧0, 0≦θ<2π} とおくと


x+y=3
r(cosθ+sinθ)
=√2 r(cosθcosπ/4+sinθsinπ/4)
=√2 rcos(θ-π/4)=3
r²=9/2cos²(θ-π/4)
=9/2 {1+tan²(θ-π/4)}
≧9/2
等号成立条件は
θ=π/4, r=3/√2
この時
x=3/2, y=3/2, x²+y²=9/2
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原点から直線 x+y=3 に下ろした垂線の足は (3/2, 3/2).

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y=3-x だから x^2+y^2=2x^2-6x+9=2(x-3/2)^2 + 9/2

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