問題 「x+y＝3のとき、x² + y² の最小値とその時のx,yの値を求めよ。」 の解き方を教えて

問題 「x+y＝3のとき、x² + y² の最小値とその時のx,yの値を求めよ。」

の解き方を教えてください。

答えは x＝２分の3、y＝２分の３のとき最小値２分の９

です。

高一の数学です。

No.5 ベストアンサー 回答者： afilter 回答日時： 2018/06/23 15:43

解き方は、星の数ほどあります。

その一つを紹介しましょう。

2(x^2+y^2)=(x+y)^2+(x-y)^2=9+(x-y)^2

ですから、x^2+y^2　は、x=y(=3/2)のとき、その最小値　9/2 を取ります。

No.4 回答者： stega 回答日時： 2018/06/22 00:33

xy平面上において、原点を中心とし、かつ、直線x+y=3と交わる円のうち、半径が最も小さい円Cの半径の2乗の値を求めなさい。

また、その時、円Cと直線x+y=3との交点を求めなさい。

イメージできそうな感じに言い換えてみました。
参考程度でお願いします。

No.3 回答者： お茶碗持つ方 回答日時： 2018/06/20 00:58

x=rcosθ, y=rsinθ {r≧0, 0≦θ<2π} とおくと

x+y=3
r(cosθ+sinθ)
=√2 r(cosθcosπ/4+sinθsinπ/4)
=√2 rcos(θ-π/4)=3
r²=9/2cos²(θ-π/4)
=9/2 {1+tan²(θ-π/4)}
≧9/2
等号成立条件は
θ=π/4, r=3/√2
この時
x=3/2, y=3/2, x²+y²=9/2

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/06/19 23:54

原点から直線 x+y=3 に下ろした垂線の足は (3/2, 3/2).

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2018/06/19 22:21

y=3-x だから x^2+y^2=2x^2-6x+9=2(x-3/2)^2 + 9/2