No.1ベストアンサー
- 回答日時:
sin(Z) = ZΠ[n=1→∞](1-Z^2/n^2π^2)
に
Z = π/2-z
を代入します。
cos(z) = (π/2-z)Π[n=1→∞]{1-(π/2-z)^2/n^2π^2}
右辺の積の因子は
z = π/2 ± nπ
の2つで根をもつので
-k{1 - z/(π/2 + nπ)}{1 - z/(π/2 - nπ)}
と因数分解できます。
あとは、n = 1から順番に積をとっていけば
n=0 z_0 = π/2(積の因子の前にある因子)
n=1 z_1 = 3π/2 ,-π/2
n=2 z_2 = 5π/2 ,-3π/2
n=3 z_3 = 7π/2 ,-5π/2
:
と1つずつ根の位置がずれて、右辺の式が得られます。
z^2の係数を比較すると、-k=1-1/4n^2 となりますが、
Π[n=1→∞](1-4n^2)=Π[n=1→∞](1-1/2n)(1+1/2n)
=lim[n→∞](1/2*3/2)(3/4*5/4)…{(2n-1)/2n*(2n+1)/2n}=2/π
(ウォリスの公式より)となるので
右辺の積における余因子の(1+z/(π/2))と
Πの前にある因子(π/2-z)と2/πを掛けて1-z^2/(π/2)^2 となり解決しました。ありがとうございました。
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