数2 y =sinx+cosx (0≦x≦π)の最大最小値を求める問題についてです。 最大値√2 (

数2
y =sinx+cosx (0≦x≦π)の最大最小値を求める問題についてです。
最大値√2 (x=π/4のとき)
最小値-1 (x=πのとき)

答えが√2と-1は分かるのですが、x=はどう考えればいいでしょうか。

よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2024/02/14 14:53

y＝√2sin(x+π/4)

この問題のxの範囲では
π/4≦x+π/4≦5π/4となるから
Maxとなるのはx+π/4＝π/2のとき　(√2sin(π/2)となるとき)
→Maxはx＝π/4
Minimumとなるのは
√2sin(π)となるときだから
x+π/4＝π
より
x＝3π/4
と計算できます

この回答へのお礼

方程式的に考えていたのですね。皆様ありがとうございました！

お礼日時：2024/02/16 11:00

No.5 回答者： sorewasennsei 回答日時： 2024/02/15 18:04

違った見方の回答です。

三角関数の一般形は
y=Asin(x+Θ)
となります。この式にすれば与えられたxの範囲でyの範囲がわかりやすくなります。
0≦x+Θ＜2πならsin(x+Θ)の最大値は1でx+Θ=π/2と最小値は-1でx+Θ=3π/2です。

No.4 回答者： stomachman 回答日時： 2024/02/15 14:05

あんまり難しく考えなくたって、ザッとこんなような絵を描いてみればわかる。

破線は、青の線 y= 2 sin x と、赤の線 y = 2 cos xとの「中間」、すなわちy =sinx+cosx です。

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2024/02/14 16:44

「三角関数の合成」は習いましたよね？

一般に、変数 x が同じであれば、係数を変形して

Asin(x) + Bcos(x)
= [√(A^2 + B^2)]{[A/√(A^2 + B^2)]sin(x) + [B/√(A^2 + B^2)]cos(x)}

と書けます。
ここで
　A/√(A^2 + B^2) = cos(Φ)
　B/√(A^2 + B^2) = sin(Φ)
　従って　tan(Φ) = B/A
という角度「Φ」が存在し（必ずしも Φ の値が分からなくともよい）

Asin(x) + Bcos(x)
= [√(A^2 + B^2)]{sin(x)cos(Φ) + cos(x)sin(Φ)}
= [√(A^2 + B^2)]sin(x + Φ)　　←三角関数の加法定理

と書けます。

ご質問の場合には、
　A=1, B=1
なので
　√(A^2 + B^2) = √2
　Φ = π/4
ということになります。
つまり

　sin(x) + cos(x) = (√2)sin(x + π/4)

従って、0≦x≦π の場合には
　π/4 ≦ x + π/4 ≦ (5/4)π
なので、
　x + π/4 = π/2　すなわち x = π/4 のとき最大値 √2
　x + π/4 = (5/4)π　すなわち x = π のとき最大値 -1
ということになります。


上に書いた「三角関数の合成」は、A、B が「１以外」であっても使えますから、使いこなせるようにしておくとよいです。

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2024/02/14 14:55

訂正

Minimumとなるのは
√2sin(5π/4)となるときだから
x+π/4＝5π/4
→x＝π