「tan(z)の特異点z=π/2は1位の極なので g(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)

「tan(z)の特異点z=π/2は1位の極なので
g(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)は(n+2)位の極となります。
よって
a(n)
={1/(2πi)}∫_{C}{tan(z)/(z-π/2)^(n+1)}dz
={1/(2πi)}2πires(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)
={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)^(n+2)tan(z)/(z-π/2)^(n+1)は
={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}
となります」

を参考に|z+1|>2の場合かつn≦-2の時のa(n)=2^(-n-2)をa(n)={1/(2πi)}∫_{C}{g(z)}dzの式を使ってa(n)=2^(-n-2)(z+1)^nを求めるまでの過程の計算を教えて下さい。

質問者からの補足コメント

• 補足の画像。

  
    補足日時：2023/12/25 01:20

• 「ローラン展開は領域を固定すればただ一通りですから、定義通りにコーシーの積分定理から導出する必要はありません。等比級数の和公式でOKです。
  最もローラン展開公式は、コーシーの積分公式の核関数 1/(ζ-z) を等比級数公式で展開して得られるので、本質的には同じ方法ですが。」
  と言われたのですが、
  どう言う事でしょうか？
  
  どうかわかりやすく教えて下さい。

    補足日時：2023/12/26 08:14

• 度々申し訳ありません。
  
  「最もローラン展開公式は、コーシーの積分公式の核関数 1/(ζ-z) を等比級数公式で展開して得られるので、本質的には同じ方法ですが。」
  
  の部分は何を言いたいのでしょうか？
  
  どうかもう少し噛み砕いて教えて下さい。
  どうかよろしくお願い致します。

    補足日時：2023/12/26 17:04

• 質問の「|z+1|>2の場合かつn≦-2の時のa(n)=2^(-n-2)をa(n)={1/(2πi)}∫_{C}{g(z)}dzの式を使ってa(n)=2^(-n-2)(z+1)^nを求めるまでの過程の計算を教えて下さい。」
  
  に関しては、2023.12.24 16:49の解答の
  「f(z)=1/(z^2-1)
  を...」を読めば良いとわかりました。
  
  
  2023.12.24 16:06の解答の最後に書いてある
  「tan(z)はz=-1で正則だからテイラー展開となる」
  は正しくは「f(z)=1/(z^2-1)は|z+1|>2の場合かつn≦-2の時のz=-1で正則だからテイラー展開となる」でしょうか？
  
  どうかよろしくお願い致します。

    補足日時：2024/01/02 23:46

• 仮に正しくは「f(z)=1/(z^2-1)は|z+1|>2の場合かつn≦-2の時のz=-1で正則だからテイラー展開となる」と書きたかったならば、好奇心でお聞きするのですが、
  
  f(z)=1/(z^2-1)に関して、
  |z+1|>2の場合かつn≦-2の時のz=-1で正則となりローラン展開出来ないが、テイラー展開できるとの事ですが、f(z)=1/(z^2-1)に関して、|z+1|>2の場合かつn≦-2の時のz=-1の時にテイラー展開を導くまでを教えて頂けないでしょうか？
  
  どうかよろしくお願い致します。

    補足日時：2024/01/03 00:01

• 2つの画像の計算は正しいでしょうか？

  
    補足日時：2024/01/04 09:28

• どうか補足の質問に答えて頂けるとありがたいです。
  
  どうかよろしくお願い致します。

    補足日時：2024/01/05 13:50

No.19 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/01/05 13:53

ほら、もう tan のローラン展開の話じゃあなくなってる。

この回答へのお礼

すいません。
では、補足に書いた質問は1月3日に新たな質問として投稿しましたが、解答が得られていないので、こちらに補足しました。
良ければ1月3日に新たな質問として投稿した方に解答を頂けるとありがたいです。

どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2024/01/05 13:58

No.18 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/01/03 16:25

f(z)=1/(z^2-1)

のとき
|z+1|>2の場合かつn≦-2の時、
中心z=-1であれ、
z=-1の時は極ではないのではなく
z=-1は|z+1|>2の範囲の極ではないから
|z+1|>2では正則だけれども

|z+1|>2 は展開の中心z=-1の近傍ではないから

展開の中心の近傍で展開する事
を
テイラー展開というのだから

テイラー展開とはいわない

f(z)は中心z=aでのテイラー展開は

f(z)=f(a)+f'(a)(z-a)+f"(a)(z-a)^2/2+…

なのだから

z=a
で正則で

f(a),f'(a),f"(a),…
はすべて近似値ではない真の値でなければならない

ところが

f(z)=1/(z^2-1)
z=a=-1
の場合は

f(a)=f(-1)=1/0=∞
となって
f(a)が定義できない

この回答へのお礼

テイラー展開はローラン展開のように分母が0になる様な特異点においてrとnの不等式で場合わけして、正則でない場合にg(z)=f(z)/(z-c)^(n+1)の(特異点において)k位の極を持つなどでa(n)の式を使い、a(n)の式を導き、近似式を作るわけではない。すなわちテイラー展開は特異点となるような点を中心に展開するような公式ではないので、

|z+1|>2の場合かつn≦-2の時、中心z=-1であれ、z=-1の時は極ではない為、正則となりローラン展開のa(n)=0となり、ローラン展開は出来ませんが、
テイラー展開に関しては、
「f(z)=1/(z^2-1)
z=a=-1
の場合は

f(a)=f(-1)=1/0=∞
となって
f(a)が定義できない」より、
分母が0になるような特異点であるz=-1では展開出来ないため、テイラー展開出来ないとわかりました。

お礼日時：2024/01/03 20:34

No.17 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/01/03 11:42

テイラー展開とマクローリン展開の名前が歴史上は混乱してるように、

ローラン展開と両側冪級数展開の区別も微妙なんじゃないか？って話。
中心から離れた円環での両側冪級数展開の用途がちょっと思い当たらない
から言ってみた。あるいは、特異点が展開中心に集積してるような関数では、
使いみちがあるのかもしれないが。

この回答へのお礼

なるほど、わざわざありがとうございます。

あの申し訳ないのですが、私とmtrajcp様の会話において、
|z+1|>2の場合かつn≦-2の時、中心z=-1であれ、z=-1の時は極ではない為、正則となるためテイラー展開出来ると思ったのですが、
どうしてテイラー展開出来ないのか理由を教えて頂けないでしょうか？

お礼日時：2024/01/03 12:19

No.16 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/01/03 11:22

各特異点が孤立している関数の両側冪級数展開は、

複素数平面上で、展開中心を中心とし、各特異点を通る同心円
で境界された円環領域ごとに異なる級数となるわけだが、
そもそも、特異点を中心とした一番内側の円環での展開以外も
「ローラン展開」と呼ぶのかどうかは、やや疑問だ。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
あの、申し訳ないのですが、何を伝えたいのかをわかりやすく教えて頂けないでしょうか？

ありものがたり様が何を伝えたいのか理解したいのでよろしくお願い致します。

お礼日時：2024/01/03 11:33

No.15 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/01/03 05:51

補足日時：2024/01/02 23:46について

2023.12.24 16:06の解答の最後に書いてある
「tan(z)はz=-1で正則だからテイラー展開となる」
は
正しけれども

テイラー展開とは
展開の中心の近傍で展開する事であって
展開の中心で正則でなければならないから

「
f(z)=1/(z^2-1)
を中心z=-1で|z+1|>2で展開する場合は
|z+1|>2 は展開の中心z=-1の近傍ではないから
テイラー展開とならない
」

この回答へのお礼

ありがとうございます。

|z+1|>2の場合かつn≦-2の時、中心z=-1であれ、z=-1の時は極ではない為、正則はあるが、展開の中心の近傍で展開出来ない為、テイラー展開出来ないと言う事でしょうか？

お礼日時：2024/01/03 12:15

No.14 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/01/03 04:17

補足日時：2024/01/02 23:46について

2023.12.24 16:06の解答の最後に書いてある
「tan(z)はz=-1で正則だからテイラー展開となる」
は
正しけれども

テイラー展開とは
展開の中心の近傍で展開する事であって
展開の中心で正則でなければならないから

「
f(z)=1/(z^2-1)
を中心z=-1で|z+1|>2で展開する場合は
中心z=-1で正則でないから
テイラー展開とならない
」

No.13 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/01/03 04:04

補足日時：2024/01/02 23:46について

2023.12.24 16:06の解答の最後に書いてある
「tan(z)はz=-1で正則だからテイラー展開となる」
は
正しけれども

「f(z)=1/(z^2-1)は|z+1|>2の場合かつn≦-2の時
中心z=-1で正則でないから
テイラー展開とならない
」

この回答へのお礼

ありがとうございます。

「tan(z)はz=-1で正則だからテイラー展開となる」に関しては、n≧-1の時かつz=-1の時は確かに g(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)の分母は0にならないので、微分出来る為、正則である為、テイラー展開出来ますね。

しかし、
「f(z)=1/(z^2-1)は|z+1|>2の場合かつn≦-2の時、中心z=-1で正則でないから
テイラー展開とならない
」に関しては、
2023.12.24 16:06の解答より|z+1|>2の場合かつn≦-2の時、中心z=-1であれ、z=-1の時は極ではない為、正則であるので、テイラー展開出来ると思ったのですが。

私は何を間違えているのでしょうか？

お礼日時：2024/01/03 05:10

No.12 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/01/01 11:02

ほらね、やはり等比級数云々は

tan じゃなく有理関数をローラン展開する場合の話だったようだ。
話題を横滑りさせるときは、相手がエスパー能力を発揮しなくても
何の話か判るように、新しい話題が何なのかを
ネタを振った側がきちんと説明しないと。
日常生活でも、そういう会話のしかたなの？

この回答へのお礼

はい。
質問はf(z)=tan(z)ではなく、f(z)=1/(z^2-1)に関する質問です。

お礼日時：2024/01/02 23:50

No.11 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/01/01 11:00

ローラン展開公式は、以下のように等比級数公式を使って得られる

この回答へのお礼

ありがとうございます。
頂いた解答と画像が
「最もローラン展開公式は、コーシーの積分公式の核関数 1/(ζ-z) を等比級数公式で展開して得られるので、本質的には同じ方法ですが。」
の部分に関する解答だと思います。



結果的に
「ローラン展開は領域を固定すればただ一通りですから、定義通りにコーシーの積分定理から導出する必要はありません。等比級数の和公式でOKです。...①
最もローラン展開公式は、コーシーの積分公式の核関数 1/(ζ-z) を等比級数公式で展開して得られるので、本質的には同じ方法ですが。...②」
に関しましては、

「ローラン展開は領域を固定すればただ一通りですから、定義通りにコーシーの積分定理から導出する必要はありません。等比級数の和公式でOKです。...①」
に関しては、ローラン展開するだけなら2023.12.28 19:43に頂いた解答のように等比級数の和公式で良いという事で、
「最もローラン展開公式は、コーシーの積分公式の核関数 1/(ζ-z) を等比級数公式で展開して得られるので、本質的には同じ方法ですが。...②」
に関しては、ローラン展開の公式自体もコーシーの積分公式の核関数 1/(ζ-z) を2023.12.28 19:43の様な等比級数の和公式で導いている為、
①と②に関しては「本質的には同じ方法」だと言ったのだとわかりました。

お礼日時：2024/01/02 23:08

No.10 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/12/28 19:43

等比級数の公式で

1/(z^2-1)を0<|z-1|<2で
ローラン展開する場合は以下の通り

この回答へのお礼

「ローラン展開は領域を固定すればただ一通りですから、定義通りにコーシーの積分定理から導出する必要はありません。等比級数の和公式でOKです。」の部分に関する解答をありがとうございます。


あの
「最もローラン展開公式は、コーシーの積分公式の核関数 1/(ζ-z) を等比級数公式で展開して得られるので、本質的には同じ方法ですが。」の部分は何を言いたいのでしょうか？

どうかもう少し噛み砕いて教えて下さい。
どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2023/12/30 19:02