「tan(z)の特異点z=π/2は1位の極なので g(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)

「tan(z)の特異点z=π/2は1位の極なので
g(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)は(n+2)位の極となります。
よって
a(n)
={1/(2πi)}∫_{C}{tan(z)/(z-π/2)^(n+1)}dz
={1/(2πi)}2πires(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)
={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)^(n+2)tan(z)/(z-π/2)^(n+1)は
={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}
となります」

を参考に|z+1|>2の場合かつn≦-2の時のa(n)=2^(-n-2)をa(n)={1/(2πi)}∫_{C}{g(z)}dzの式を使ってa(n)=2^(-n-2)(z+1)^nを求めるまでの過程の計算を教えて下さい。

質問者からの補足コメント

• 補足の画像。

  
    補足日時：2023/12/25 01:20

• 「ローラン展開は領域を固定すればただ一通りですから、定義通りにコーシーの積分定理から導出する必要はありません。等比級数の和公式でOKです。
  最もローラン展開公式は、コーシーの積分公式の核関数 1/(ζ-z) を等比級数公式で展開して得られるので、本質的には同じ方法ですが。」
  と言われたのですが、
  どう言う事でしょうか？
  
  どうかわかりやすく教えて下さい。

    補足日時：2023/12/26 08:14

• 度々申し訳ありません。
  
  「最もローラン展開公式は、コーシーの積分公式の核関数 1/(ζ-z) を等比級数公式で展開して得られるので、本質的には同じ方法ですが。」
  
  の部分は何を言いたいのでしょうか？
  
  どうかもう少し噛み砕いて教えて下さい。
  どうかよろしくお願い致します。

    補足日時：2023/12/26 17:04

• 質問の「|z+1|>2の場合かつn≦-2の時のa(n)=2^(-n-2)をa(n)={1/(2πi)}∫_{C}{g(z)}dzの式を使ってa(n)=2^(-n-2)(z+1)^nを求めるまでの過程の計算を教えて下さい。」
  
  に関しては、2023.12.24 16:49の解答の
  「f(z)=1/(z^2-1)
  を...」を読めば良いとわかりました。
  
  
  2023.12.24 16:06の解答の最後に書いてある
  「tan(z)はz=-1で正則だからテイラー展開となる」
  は正しくは「f(z)=1/(z^2-1)は|z+1|>2の場合かつn≦-2の時のz=-1で正則だからテイラー展開となる」でしょうか？
  
  どうかよろしくお願い致します。

    補足日時：2024/01/02 23:46

• 仮に正しくは「f(z)=1/(z^2-1)は|z+1|>2の場合かつn≦-2の時のz=-1で正則だからテイラー展開となる」と書きたかったならば、好奇心でお聞きするのですが、
  
  f(z)=1/(z^2-1)に関して、
  |z+1|>2の場合かつn≦-2の時のz=-1で正則となりローラン展開出来ないが、テイラー展開できるとの事ですが、f(z)=1/(z^2-1)に関して、|z+1|>2の場合かつn≦-2の時のz=-1の時にテイラー展開を導くまでを教えて頂けないでしょうか？
  
  どうかよろしくお願い致します。

    補足日時：2024/01/03 00:01

• 2つの画像の計算は正しいでしょうか？

  
    補足日時：2024/01/04 09:28

• どうか補足の質問に答えて頂けるとありがたいです。
  
  どうかよろしくお願い致します。

    補足日時：2024/01/05 13:50

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/12/24 13:22

またやってる...

もう何度も、何度も、何度も、何度も、
まず a(n) の定義を書いてから計算を始めろ
って説教したはずだけど？
また今回も、例の mなんたら さんに
式だけづらづら並べた計算を書いてほしいだけなの？

No.2 回答者： 都の西北我瀬駄の隣バカ田大学危機管理学科 回答日時： 2023/12/24 15:48

おお！ また久しぶりに出たか（笑）。

ネットで
　　tan(z)のローラン展開
を検索すると、ここや知恵袋などで過去に君の質問が
　　わんさか、わんさか、わんさか
出て来るから、その中から適当なものを選べばよい。

　要はローラン展開可能な関数

　　f(z) = ∑[n=-∞→∞]a_n(z-a)^n

の係数 a_n を求めるのに、一般的な二項級数による解法ではなく

　　a_n = (1/2πi)∮_C f(z)/(z-1)^(n+1)dz ……※

を使って求める方法が知りたいのだろうが、f(z)がどんな関数であれ、これを直接積分することは難しい。実関数の初等関数でも積分が困難な例はいくらでもある。というか積分できないケースがずっと多い。なぜ積分できないのかと問われれば、積分とはそういうものだとしか答えようがない。どうしても※を使いたければ留数を使えばよい。積分しなくていいのだから。

　実関数 tan(x) のマクローリン展開は係数の形があまりに複雑すぎて応用上の妙に乏しい。あの偉大なニュートンさえも、tan(x) のマクローリン展開の係数を求めるは、ついにできなかった。係数を求めることが厄介さはもちろん複素関数 tan(z) のマクローリン展開、ローラン展開でも変わりない。
　だから、留数を使ってローラン展開の係数 a_n を求める方法を知りたいなら、f(z) は tan(z) ではなく、もっと簡単に係数を求められる関数の方がいいんじゃないの。確かここでの君の膨大な Q&A にも f(z) = 1/(z^2-1) などについて m氏の懇切丁寧な解説があったはずだが。せっかく答えもらってるんだから、しっかり検索して、関数論の本を横において読めばいい。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

すいません、質問に記述漏れがありました。
使う式はf(z)=1/(z^2-1)です。


質問に載せた計算では
{1/(2πi)}∫_{C}{tan(z)/(z-π/2)^(n+1)}dz
={1/(2πi)}2πires(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)
のように、複雑な積分の部分は計算しやすい形に置き換えられて、

最終的には
{1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}
の式が導かれていますが、
同じ計算のやり方で|z+1|>2の場合かつn≦-2の時のf(z)=1/(z^2-1)からa(n)=2^(-n-2)(z+1)^nを求められないのでしょうか？

また、どうしてもa(n)={1/(2πi)}∫_{C}{g(z)}dzを使いたければ留数を使えばよいのでしょうか？

お礼日時：2023/12/24 16:08

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/12/24 16:06

n≦-2のとき

g(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)は(n+2)位の極とならないから間違い

a(n)={1/(2πi)}∫_{C}{g(z)}dz
の
g(z)が未定義だから間違い

a(n)=2^(-n-2)(z+1)^n
の
左辺a(n)はzに無関係な定数
右辺はzに関する変数
だから
間違い

何の関数をどこで展開するのか不明だから間違い

tan(z)はz=-1で正則だからテイラー展開となる

この回答へのお礼

バカ田大学様からの解答のお礼するに書いたように、
質問したかった正しい内容は
「「tan(z)の特異点z=π/2は1位の極なので
g(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)は(n+2)位の極となります。
よって
a(n)
={1/(2πi)}∫_{C}{tan(z)/(z-π/2)^(n+1)}dz
={1/(2πi)}2πires(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)
={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)^(n+2)tan(z)/(z-π/2)^(n+1)は
={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}
となります」

を参考にf(z)=1/(z^2-1)の式において、
|z+1|>2の場合かつn≦-2の時のa(n)=2^(-n-2)をa(n)={1/(2πi)}∫_{C}{g(z)}dzの式を使ってa(n)=2^(-n-2)(z+1)^nを求めるまでの過程の計算を教えて下さい。」

でこざいます。

お礼日時：2023/12/24 16:10

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/12/24 16:49

n≦-2のとき

g(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)は(n+2)位の極とならないから間違い

a(n)={1/(2πi)}∫_{C}{g(z)}dz
の
g(z)が未定義だから間違い

a(n)=2^(-n-2)(z+1)^n
の
左辺a(n)はzに無関係な定数
右辺はzに関する変数
だから
間違い


f(z)=1/(z^2-1)
を
z=-1を中心に|z+1|>2でのローラン展開を
f(z)=Σ_{n=-∞～∞}a(n)(z+1)^n
とすると
r>2
g(z)=f(z)/(z+1)^(n+1)
a(n)={1/(2πi)}∫_{|z+1|=r}g(z)dz

f(z)=1/(z^2-1)だから
g(z)=1/{(z-1)(z+1)^(n+2)}
g(z)=(z+1)^(-n-2)/(z-1)
n≦-2のとき
0≦-n-2
だから
g(z)の|z+1|<r での特異点は1位の極z=1だけだから
留数定理から

a(n)
={1/(2πi)}∫_{|z+1|=r}g(z)dz
=Res[g(z),1]
=lim_{z→1}(z-1)g(z)
=lim_{z→1}(z-1)(z+1)^(-n-2)/(z-1)
=lim_{z→1}(z+1)^(-n-2)
=2^(-n-2)

この回答へのお礼

ありがとうございます。

あの
「Res[g(z),1]
=lim_{z→1}(z-1)g(z)」
の計算の省略された過程の計算を教えて頂けないでしょうか。

どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2023/12/24 16:54

No.5 回答者： 都の西北我瀬駄の隣バカ田大学危機管理学科 回答日時： 2023/12/24 18:58

> あの

> 「Res[g(z),1]
> =lim_{z→1}(z-1)g(z)」
> の計算の省略された過程の計算を教えて頂けないでしょうか。
　どこも省略なんかされていない。
　　a(n) = Res[g(z),1] = 2^(-n-2)
であることが丁寧に示されている。
　そもそも、
　　f(z)=1/(z^2-1)
のローラン展開の係数 a(n) を求めることは、
　　g(z)=f(z)/(z+1)^(n+1)
の留数を求めることに他ならないことをちゃんと理解している？

この回答へのお礼

留数については理解しています。

しかし、以前mtrajcp様に
Res[g(z),1]
=lim_{z→1}(z-1)g(z)ではないですが、似たような問題においての間の詳しい計算を書いて頂いた事があります。

また、バカ田大学様に答えて欲しいのですが、
どうしてもa(n)={1/(2πi)}∫_{C}{g(z)}を使いたければ留数を使えばよい。の意味がいまいちわかりません。

a(n)={1/(2πi)}∫_{C}{g(z)}は積分が難しくて使えないから他の留数、すなわち他のa(n)の式を使うのではないのでしょうか？


また、「tanzの特異点z=π/2は1位の極なので
f(z)=tanz/(z-π/2)^(n+1)は (n+2)位の極となります。
よって
a(n)
={1/(2πi)}∫_{C}{tan(z)/(z-π/2)^(n+1)}dz
={1/(2πi)}2πires(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)
={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)^(n+2)tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}
となります」
の計算はたまたま正しいa(n)の式が導けただけなのでしょうか？

お礼日時：2023/12/24 19:40

No.6 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/12/24 20:37

res(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)

={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)^(n+2)tan(z)/(z-π/2)^(n+1)

と同様な理由で

Res[g(z),1]
=lim_{z→1}(z-1)g(z)

が成り立つ

No.7 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/12/24 23:32

何をいつまでも堂々巡りしてるのか謎だが、

f(z) の m 位の極 c を中心としたローラン展開なら
(z - c)^m f(z) をテイラー展開してから両辺を (z - c)^m で割るだけでしょ。
この考えから、直接
a(n) = { 1/(n+1)! } lim_{z→π/2} (d/dz)^(n+1){ (z-π/2)tan(z) }
が出る。

a(n)
= { 1/(2πi) } ∫_{C}{ tan(z)/(z-π/2)^(n+1) }dz
= { 1/(2πi) } 2πi Res[ tan(z)/(z-π/2)^(n+1), π/2 ]
= { 1/(n+1)! } lim_{z→π/2} (d/dz)^(n+1){ (z-π/2)^(n+2) tan(z)/(z-π/2)^(n+1) }
= { 1/(n+1)! } lim_{z→π/2} (d/dz)^(n+1){ (z-π/2)tan(z) }
という計算は、
a(n) を求める過程で a(-1) を求める公式を使っていて
迂遠というか、循環論の臭いが立ち込めている。

この回答へのお礼

なるほど前者のローラン展開の公式を展開してa(n)=と変形してa(n)を求める場所と
後者のa(n)={1/(2πi)}∫_{C}{g(z)}dzのa(n)の式を計算して整理してa(n)=と変形してa(n)を求めるとわかりました。

(補足に載せた画像の青い下線部の式、すなわちa(-1) を求める公式が後者のa(n)の式の中に入っていますね。)


しかし、後者の計算で a(-1) を求める公式を使って迂遠というか、循環論の臭いが立ち込めている。とのことですが、どう言う事でしょうか？
もう少しわかりやすく教えてください。


また、
「a(n)
= { 1/(2πi) } ∫_{C}{ tan(z)/(z-π/2)^(n+1) }dz
= { 1/(2πi) } 2πi Res[ tan(z)/(z-π/2)^(n+1), π/2 ]」
に関しては{ 1/(2πi) } 2πiは計算で1になるので、
最初っから残るRes[ tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2 ]のみだけ計算すれば良いとわかった。
Res[ tan(z)/(z-π/2)^(n+1)=res(g(z),π/2)=1/(n-1)! lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^n g(z)
を計算すればa(n)が導けるとわかりました。

お礼日時：2023/12/25 01:20

No.8 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/12/25 13:53

＞ 後者の計算で a(-1) を求める公式を使って迂遠というか、

＞ 循環論の臭いが立ち込めている。とのことですが、どう言う事でしょうか？

a(n) を求める公式を作るために Res を求める公式を使っているが、
Res は a(-1) であり、使用した公式は a(n) の公式を n = -1 で使ったものである。
それなら、一度目に a(n) の公式を見つけたところで話は完了しており、

a(n)
= { 1/(2πi) } ∫_{C}{ tan(z)/(z-π/2)^(n+1) }dz
= { 1/(2πi) } 2πi Res[ tan(z)/(z-π/2)^(n+1), π/2 ]
= { 1/(n+1)! } lim_{z→π/2} (d/dz)^(n+1){ (z-π/2)^(n+2) tan(z)/(z-π/2)^(n+1) }
= { 1/(n+1)! } lim_{z→π/2} (d/dz)^(n+1){ (z-π/2)tan(z) }

のくだりは、何かを計算しているように見せかけて
実は何もしていないのではないか？ という話。

No.9 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/12/26 13:20

←補足12/26 08:14

ローラン展開は一意なんだから、
あなたが好きな公式を使わなくても
どんな方法で求めても結果は同じになる
ってだけのことでしょ。

等比級数の公式で済むっていうのは、
有理関数をローラン展開する場合の話だと思う。

この回答へのお礼

ありものがたり様、ありがとうございます！

あの等比級数の公式でローラン展開する場合を簡単に説明して頂けませんか？
また、わかりやすいサイトがあれば教えてください。

私の方でも探してみます。

お礼日時：2023/12/26 14:03

No.10 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/12/28 19:43

等比級数の公式で

1/(z^2-1)を0<|z-1|<2で
ローラン展開する場合は以下の通り

この回答へのお礼

「ローラン展開は領域を固定すればただ一通りですから、定義通りにコーシーの積分定理から導出する必要はありません。等比級数の和公式でOKです。」の部分に関する解答をありがとうございます。


あの
「最もローラン展開公式は、コーシーの積分公式の核関数 1/(ζ-z) を等比級数公式で展開して得られるので、本質的には同じ方法ですが。」の部分は何を言いたいのでしょうか？

どうかもう少し噛み砕いて教えて下さい。
どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2023/12/30 19:02