tan(z)のローラン展開である tan(z)=a(-1)/(z-π/2)+a(0)+a(1)(z-

tan(z)のローラン展開である
tan(z)=a(-1)/(z-π/2)+a(0)+a(1)(z-π/2)+a(2)(z-π/2)^2+・・・①
の各係数を求めようと
a(n-k)=(1/n!)lim_{z→c}(d/dz)^n{f(z)(z-c)^k}を使って各係数を求める場合
と
Res(g(z),c)=lim_{z->c}(z-c)g(z)を使って各係数を求める場合で①の各係数を求めようと思ったのですが、求め方がわかりません。

どうか
a(n-k)=(1/n!)lim_{z→c}(d/dz)^n{f(z)(z-c)^k}を使って各係数を求める場合と
と
Res(g(z),c)=lim_{z->c}(z-c)g(z)を使って各係数を求める場合で①の各係数を求める過程の計算を教えて頂けないでしょうか。


一応、
f(z)=tan(z)
n=-1,k=1として、
試しにa(n-k)=(1/n!)lim_{z→c}(d/dz)^n{f(z)(z-c)^k} を使ってa(-1)を計算してみましたが、
a(-1-1)=(1/-1!)lim_{z→π/2}(d/dz)^0{tan(z)(z-π/2)}
= (1/-1!)lim_{z→c}tan(z)(z-π/2)}
となり、
よってa(-1)=-1を導く事が出来ませんでした。


最後にres(f(z),a)=1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^kf(z)を使って①の各係数を求める事は可能でしょうか？
可能な場合は①の各係数を求める過程の計算を教えて頂けないでしょうか。

どうかよろしくお願い致します。

質問者からの補足コメント

• 以前にmtrajcp様から
  a(n)の式としてres(f(z),a)=1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^kf(z)を教えて頂きましたが、このa(n)の式は正しい式なのでしょうか？

    補足日時：2023/11/09 14:25

• 出来れば
  Res(g(z),c)=lim_{z->c}(z-c)g(z)
  と
  res(f(z),a)=1/(k-1)!lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-
  a)^kf(z)
  に関してもa(-1)=-1を求めるまでを教えて下さい。
  
  (※g(z)=f(z)/(z-a)^(n+1)とします。)

    補足日時：2023/11/09 17:50

• g(z)とすべきところをf(z)としてしまっていましたので編集致しました。
  
  res(g(z),a)=1/(k-1)! lim [z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^kg(z)の式をmtraicp様はどのように導かれたのか教えて頂けないでしょうか。

    補足日時：2023/11/10 11:47

• ありものがたりさんの「お礼する」に書いた事には誤りがありました。
  
  正しくは
  「res(f(z),a)=1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^kf(z)
  の式の作り方はメモに保存した「res(f(z),a)=1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^kf(z)とkとnについて。」に載せた画像に書いてありました。」

    補足日時：2023/11/10 17:07

• 誤りがありました。
  編集致しました。
  
  ありものがたりさんの「お礼する」に書いた事には誤りがありました。
  
  正しくは
  「res(g(z),a)=1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^kg(z)
  の式の作り方はメモに保存した「res(g(z),a)=1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^kg(z)とkとnについて。」に載せた画像に書いてありました。」

    補足日時：2023/11/10 17:36

• あのmtrajcp様に質問があります。
  
  以前積分出来ないとかでg(z)=(z-π/2)tan(z)と定義して、Res(g(z),c)=lim_{z->c}(z-c)g(z)を使う事に関して。
  
  Res(g(z),π/2)=lim_{z->π/2}(z-π/2)g(z)はk=1の時にしか使えないが、
  k=1のg(z)=(z-π/2)tan(z)をRes(g(z),π/2)=lim_{z->π/2}(z-π/2)g(z)に使うと
  Res(g(z),π/2)=lim_{z->π/2}(z-π/2)^2 tan(z)となり、
  正しい答えが導けないのですが、何が間違っているのでしょうか？

    補足日時：2023/11/10 18:36

No.10 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/11/10 20:15

Res(g(z),c)=lim_{z->c}(z-c)g(z)

は
g(z)がz=cで1位の極を持たなければ間違いです

g(z)=(z-π/2)tan(z)
は

lim_{z→π/2}g(z)
=lim_{z→π/2}(z-π/2)tan(z)
=lim_{z→π/2}sin(z){(z-π/2)/cos(z)}
=lim_{z→π/2}sin(z){-(π/2-z)/sin(π/2-z)}
=lim_{z→π/2}sin(z){-lim_{z→π/2}(π/2-z)/sin(π/2-z)}
=-1
に
収束するから(g(π/2)=-1と定義すれば)

g(z)=(z-π/2)tan(z)
は
z=π/2で正則なので間違いです

この回答へのお礼

ありがとうございます。
頂いた
「lim_{z→π/2}g(z)
=lim_{z→π/2}(z-π/2)tan(z)
=lim_{z→π/2}sin(z){(z-π/2)/cos(z)}
=lim_{z→π/2}sin(z){-(π/2-z)/sin(π/2-z)}
=lim_{z→π/2}sin(z){-lim_{z→π/2}(π/2-z)/sin(π/2-z)}
=-1」
より、z=π/2(a(n)の式が発散するg(z)とかでa(n)が正則でない式になる話とは関係ないとして、ローラン展開とは言え分母が0になるような特異点の点からは近似式を作れないため、特異点の周りの点から近似式を作るため厳密にはz=π/2ではなくz→π/2)の時であれg(z)=(z-π/2)tan(z)は-1に収束するため、すなわち分母が0にならずに極をもたないため、
Res(g(z),c)=lim_{z->c}(z-c)g(z)は使えないとわかりました。

お礼日時：2023/11/10 23:46

No.9 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/11/10 18:56

Res(g(z),c)=lim_{z->c}(z-c)g(z)

は
g(z)がz=cで1位の極を持たなければ間違いです

g(z)=(z-π/2)tan(z)はz=π/2で正則なので間違いです

この回答へのお礼

ありがとうございます。

g(z)=(z-π/2)tan(z)はz=π/2で分母が0になるわけではないため、z=π/2で極を持たないため、Res(g(z),c)=lim_{z->c}(z-c)g(z)は使えないという事がわかりました。

しかし、g(z)=(z-π/2)tan(z)={(z-π/2)sin(z)}/cos(z)であるため、g(z)=(z-π/2)tan(z)の式はk=1でz=π/2の時に分母が0になり、極を持つためRes(g(z),c)=lim_{z->c}(z-c)g(z)の式を使えるのではないかと考えています。
なぜ使えないのでしょうか？

お礼日時：2023/11/10 19:57

No.8 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/11/10 13:41

f(z) が z=a に k 位の極を持つ場合に、

f(z) の z=a でのローラン展開の n-k 次項の係数は
(1/n!) lim[z→a] (d/dz)^n { (z-a)^k f(z) }
と求めることができる
って、既に No.1 に書いてあるんだけど。
いつまでやってんだか。

この回答へのお礼

なるほど。
mtrajcp様から以前にa(n-k)=(1/n!)lim_{z→c}(d/dz)^n{f(z)(z-c)^k}の作り方を教えて頂いた事を思い出しました。

ありがとうございます。

お礼日時：2023/11/10 15:07

No.7 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/11/10 13:09

res(g(z),a)=1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^kg(z)

は
g(z)がz=aでk位の極を持たなければ間違いです

No.6 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/11/10 10:56

a(n)=res(tan(z),a)

は
間違いです

左辺にnがあるのに右辺にnが無いから間違い

この回答へのお礼

ありがとうございます。

頂いた解答からres(f(z),a)=1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^kf(z)は正しい式だが、a(n)の式ではないため、

res(f(z),a)=1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^kf(z)の式から
tan(z)=a(-1)/(z-π/2)+a(0)+a(1)(z-π/2)+a(2)(z-π/2)^2+・・・①
の各係数を求められないとわかりました。


あの、ちなみに、
res(f(z),a)=1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^kf(z)の式をmtrajcp様はどのように導かれたのか教えて頂けないでしょうか。

お礼日時：2023/11/10 11:30

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/11/09 23:00

同じ話の繰り返しになるけれども、

f(z) が z=c に k 位の極を持つときは、
(z-c)^k f(z) を z=c 中心にテーラー展開することで
f(z) の z=c 中心のローラン展開を得ることができます。
アイディアとして知っておくべきは、それだけです。
筋道が解っていれば、「公式」を再構成するのは容易でしょう？
呪文を暗記するのはお止しなさい　って言っているのです。

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/11/09 20:11

res(f(z),a)=1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^kf(z)

は
f(z)がz=aでk位の極を持たなければ間違いです
f(z)がz=aでk位の極を持てば
正しいけれども
a(n)の式ではありません

この回答へのお礼

ありがとうございます。

res(f(z),a)=1/(k-1)!lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^kf(z)は間違いで正しくは、
res(g(z),a)=1/(k-1)!lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^kg(z)でした。
(私事ではありますが、「res(f(z),a)=1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^kf(z)とkとnについて。」というメモに書いてありました。)


あの以前教えて頂いた
「a(n)
=res(tan(z),a)
=1/(1-1)! lim[z->a](d/dz)^(1-1)(z-a)^1tan(z)
=1/(0)! lim[z->a](d/dz)^(0)(z-a)tan(z)
=lim[z->a](z-a)tan(z)
=-1」
は正しい計算でしょうか？

お礼日時：2023/11/09 20:48

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/11/09 19:46

res(f(z),a)=1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^kf(z)

はa(n)の式ではありません

Res(g(z),c)=lim_{z->c}(z-c)g(z)
は
g(z)がz=cで1位の極を持たなければ間違いです

この回答へのお礼

ありがとうございます。
では、res(f(z),a)=1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^kf(z)は間違った式なのでしょうか？


なるほど、Res(g(z),c)=lim_{z->c}(z-c)g(z)に関しては、g(z)ですから、g(z)=f(z)/(z-a)^(n+1)となると、g(z)はz=π/2の時にk=(n+1)位の極を持つのだから、(すなわちz=π/2の時にk=1位の極は持たないため)Res(g(z),c)=lim_{z->c}(z-c)g(z)は使えないとわかりました。

お礼日時：2023/11/09 19:57

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/11/09 16:40

f(z)=tan(z)

c=π/2
のとき

a(n-k)=(1/n!)lim_{z→c}(d/dz)^n{f(z)(z-c)^k}
を使って
a(-1)
を求めるなら

f(z)はz=π/2でk=1位の極を持つのだから
k=1

a(n-k)=a(-1)
だから
n-k=-1
n-1=-1
n=0

でなければならない

a(0-1)=(1/0!)lim_{z→π/2}(d/dz)^0{tan(z)(z-π/2)}
=lim_{z→π/2}tan(z)(z-π/2)
=lim_{z→π/2}{sin(z)/cos(z)}(z-π/2)
=lim_{z→π/2}{sin(z)(z-π/2)/cos(z)}
=lim_{z→π/2}{sin(z)(z-π/2)/sin(π/2-z)}
=lim_{z→π/2}sin(z){-(π/2-z)/sin(π/2-z)}
=lim_{z→π/2}sin(z)lim_{z→π/2}{-(π/2-z)/sin(π/2-z)}
=-1

∴
a(-1)=-1

この回答へのお礼

ありがとうございます。

出来れば
Res(g(z),c)=lim_{z->c}(z-c)g(z)
と
res(f(z),a)=1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^kf(z)
のa(-1)=-1を求めるまでも教えて下さい。

お礼日時：2023/11/09 17:44

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/11/09 15:19

tan z の z=π/2 中心のローラン展開の係数の

n 次項の係数を n を含んだ数式で書こう
というのは、無理なんじゃないかと思うよ。

質問のどちらの方法でも、n=-1 のときはこの値、
n=0 のときはこの値、n=1 のときはこの値...
と、ひとつづつ求めてくことはできると思うけど、
一般項を n の式で書くのはね。ちょっとね。

res[f(z),a] = (1/(k-1)!) lim[z→a] (d/dz)^(k-1) { (z-a)^k f(z) }
ってのは、 f(z) が z=a に k 位の極を持つ場合に、
f(z) の z=a での留数は (z-a)^k f(z) をテイラー展開すれば判る
という式です。もちろん正しい。

これと同じ考え方で、ローラン展開の n-k 次項の係数も
(1/n!) lim[z→a] (d/dz)^n { (z-a)^k f(z) }
と求めることができます。

魔法の呪文みたいな公式を暗記するより、何をやっているのかを理解したほうが
覚え違いをしないし、応用も効くでしょう。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

要は、
a(n-k)=(1/n!)lim_{z→c}(d/dz)^n{f(z)(z-c)^k}、Res(g(z),c)=lim_{z->c}(z-c)g(z)、
res(f(z),a)=1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^kf(z)
のどれを使ってもtan(z)=a(-1)/(z-π/2)+a(0)+a(1)(z-π/2)+a(2)(z-π/2)^2+・・・①の各係数を求められるという事でしょうか？

お礼日時：2023/11/09 15:35