親子におすすめの新型プラネタリウムとは?

(1)arctan(x)のx=0でのtaylor展開を求めよ。
(2)tanの加法定理を用いて、以下を示せ。
 π/4=arctan(1/2)+arctan(1/3)
(3)(2)の右辺に(1)を適用してπの近似計算を実行してみよ。

できるだけ、詳しく教えてください。お願いします。

A 回答 (3件)

誤差評価の無い近似計算は無いからね。


No.1 (3) の理由によって、例えば、π/4 を小数第三位まで求めるためには、
(2) の右辺で arctan x = x - (1/3)x^3 + (1/5)x^5 - (1/7)x^7 + … を
arctan(1/2) については x^7 項まで、arctan(1/3) については x^5 項まで
求めて足せばよい。

この回答への補足

π/4=0.7853981…,arctan(1/2)のx^7項までの和は0.5468…,arctan(1/3)のx^5項までの和は0.34650205…となり,arctan(1/2)のx^7項までの和とarctan(1/3)のx^5項までの和とあわないんですけど、そういうことでは,ないのでしょうか?教えてください。

補足日時:2010/06/17 18:16
    • good
    • 0

で、何が分からないのでしょうか。


前の質問で回答した解答を参照してやってみて下さい。

(2)
>π/4=arctan(1/2)+arctan(1/3)
であれば

A=arctan(1/2),B=arctan(1/3)
tanA=1/2,tanB=1/3
y=A+B, 0<y<π/2
tan y=tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)
=(1/2+1/3)/(1-(1/2)(1/3))=(5/6)/(5/6)=1
y=π/4
と導けます。
    • good
    • 0

(1)


等比級数 1/(1+t^2) = 1 - t^2 + t^4 - t^6 + …
の両辺を t = 0 ~ x で積分する。

(2)
arctan(1/2) + arctan(1/3) = arctan tan( arctan(1/2) + arctan(1/3) )
= arctan( { tan arctan(1/2) + tan arctan(1/3) } / { 1 - tan arctan(1/2)・tan arctan(1/3) })
= …

(3)
交代減少級数の打ち切り誤差が、打ち切り項の絶対値で抑えられることを利用する。
    • good
    • 0

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人が検索しているワード

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Qarcsinのマクローリン展開について

arcsinxのマクローリン展開は、どのようにすればよいのでしょうか?

Aベストアンサー

マクローリン級数展開

Q逆三角関数のn回微分

ArcsinX ArccosX ArctanX
のn回微分の求め方が分かりません。
どうか教えてください。

Aベストアンサー

Ag-mp さんのご回答:
ミスタイプか,あるいはケアレスミスかと思いますが
(1)  (d/dx) arctan(x) = 1/(1+x^2)
ですね.

ライプニッツの定理は,積の微分の一般公式で,
(2)  (fg)^(n) = f^(n) g + C(n,1) f^(n-1) g^(1) + C(n,2) f^(n-2) g^(2)
         + ・・・+ f g^(n)
ですから,yumomonori さんのように f=arcsin(x)、g=1 とおいても
何も新しいことは出てきません.
なお,C(n,2) などは二項係数です.

(3)  (d/dx) arcsin(x) = 1/√(1-x^2)
ですから,積の微分ではなくて,合成関数の微分と見なすべき問題です.
つまり,
(4)  f(x) = 1/√(1-x) = (1-x)^(-1/2)
(5)  g(x) = x^2
として
(6)  h(x) = f(g(x))
の高階導関数を求める問題になります.

この種の問題はなかなか面倒で,
見通しよく扱うには Bell の多項式と呼ばれるものを使う方法が一般的ですが,
なかなかきれいな形にはまとめられないことがほとんどです.

質問の arcsin,arccos についてはたくさんの項の和,
という形にしかならないようです.

arctan については,岩波の数学公式集に
(7)  (d/dx)^n arctan(x)
    = (n-1)! {cos^n (arctan(x))} sin{n[arctan(x) + (π/2)]}
という恐ろしげな式が載っています.
どうやって導いたのか,すぐには見えません.
まあ,よくこんな式求めましたよね.

というわけで,簡単に求められる話ではありません.
(7)はこの式がわかっていれば,帰納法で証明できそうではあります.

Ag-mp さんのご回答:
ミスタイプか,あるいはケアレスミスかと思いますが
(1)  (d/dx) arctan(x) = 1/(1+x^2)
ですね.

ライプニッツの定理は,積の微分の一般公式で,
(2)  (fg)^(n) = f^(n) g + C(n,1) f^(n-1) g^(1) + C(n,2) f^(n-2) g^(2)
         + ・・・+ f g^(n)
ですから,yumomonori さんのように f=arcsin(x)、g=1 とおいても
何も新しいことは出てきません.
なお,C(n,2) などは二項係数です.

(3)  (d/dx) arcsin(x) = 1/√(1-x^2)
ですから,積の微分ではなくて...続きを読む

Qe^-2xの積分

e^-2xの積分はどうしたらよいのでしょうか…。e^xやe^2xsinxなどはのってるのですがこれが見つかりません。お願いします。

Aベストアンサー

いささか、思い違いのようです。

e^-2x は、 t=-2x と置いて置換してもよいけれど、牛刀の感がします。

e^-2x を微分すると、(-2)*( e^-2x )となるので、

e^-2x の積分は、(-1/2)*( e^-2x )と判明します。

Qアークタンジェントの求め方

電気回路などで計算に出てくるのですが、タンジェントの逆関数θ=Tan^-1(y/x)の求め方が分かりません。y/xを計算して、そのあとどうすればいいのですか?
サインやコサインみたいに表があるのですか?関数電卓で求める方法もイマイチわかりません。
教えて下さい。

Aベストアンサー

関数電卓では、一般に数値を入力して、[Shift]キーを押してから[tan]キーを押すと、アークタンジェント arctan(x)の値が求まります。
※機種によって操作方法が異なる場合があります。
Windowsの電卓で、arctan(x)を計算する場合、関数電卓の画面になっていることを確認して、以下の方法で求められます。
1. 数値を入力する。
2. 右のラジオボタン(Deg/Rad/Grad)を選択し、左の[Inv]をチェックする。
3. [tan]ボタンまたは[T]キーを押す。
なお、Deg/Rad/Gradは、角度の単位です。詳細はヘルプ画面をご覧下さい。

Qtanxのマクローリン展開について

「f(x)=tanxのマクローリン展開をn=3まで求めなさい」という問題について、悩んでいます。

f(x)=sin(x)やf(x)=cos(x)の例を参考に、f'(0)、f''(0)、f'''(0)より級数形式の一般項を求めようとしました。

tanx=sinx/cosxなので、f'=1/cos^2xですが、このままf''、f'''と求めるのは大変面倒な気がします。

最終的な回答は、x+x^3/3+2x^5/15+34x^7/315らしいのですが、こちらから一般項に辿り着けません。

わかる方がいらっしゃいましたら、教えてください。
できましたら、途中の進め方を詳しくお願い致します。

Aベストアンサー

1/(cosx)^2=1+(tanx)^2という公式をフル活用します。
tanxをxで微分すると
(tanx)'=f'(x)=1/(cosx)^2=1+(tanx)^2
となります。
あとは
f''(x)=2*(tanx)*(tanx)'=2tanx+2*(tanx)^3
f'''(x)=2(tanx)'+2*3*(tanx)^2*(tanx)'=2+8tanx^2+6(tanx)^3
といった感じで、f''(x)、f'''(x)、…は計算できます。

Qy=x^(1/x) の 微分

y=x^(1/x) の微分を教えてください。
簡単な問題なのにすいません。

Aベストアンサー

対数微分法で微分できます。まずは両辺の対数をとって

y = x^(1/x)
→log|y| = log|x^(1/x)|
→log|y| = (1/x)log|x|

このlog|y| = (1/x)log|x|の両辺をxで微分します。

まず左辺をxで微分することを考えます。
f(x) = log|x|とおき、g(x) = yとおくと、
log|y| = f(g(x))
ですので、

(log|y|)'
={ f(g(x)) }'
= f'(g(x)) × g'(x)

です。f'(x) = 1/xですのでf'(g(x)) = 1/y、
g'(x) = (y)' = y'より、
(log|y|)'
= f'(g(x)) × g'(x)
= y' / y

です。
y = x^(1/x)を代入すると

(log|y|)'
= y' / y
= y' / { x^(1/x) }

となります。

(log|y|)' = { (1/x)log|x| }'
→y' / { x^(1/x) } = { (1/x)log|x| }'

この両辺に{ x^(1/x) }をかけると

y' = { x^(1/x) } × { (1/x)log|x| }'

となります。
なので{ (1/x)log|x| }'の計算をすればy'が求まります。
積の微分で解いてください。

対数微分法で微分できます。まずは両辺の対数をとって

y = x^(1/x)
→log|y| = log|x^(1/x)|
→log|y| = (1/x)log|x|

このlog|y| = (1/x)log|x|の両辺をxで微分します。

まず左辺をxで微分することを考えます。
f(x) = log|x|とおき、g(x) = yとおくと、
log|y| = f(g(x))
ですので、

(log|y|)'
={ f(g(x)) }'
= f'(g(x)) × g'(x)

です。f'(x) = 1/xですのでf'(g(x)) = 1/y、
g'(x) = (y)' = y'より、
(log|y|)'
= f'(g(x)) × g'(x)
= y' / y

です。
y = x^(1/x)を代入すると

(log...続きを読む

Q積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか?

Sは積分の前につけるものです
S dx =x
S x dx=1/2x^2
S 1/x dx=loglxl
まではわかったのですが
S 1/x^2 dx
は一体どうなるのでしょうか??

Aベストアンサー

まず、全部 積分定数Cが抜けています。また、積分の前につけるものは “インテグラル”と呼び、そう書いて変換すれば出ます ∫

積分の定義というか微分の定義というかに戻って欲しいんですが
∫f(x)dx=F(x)の時、
(d/dx)F(x)=f(x)です。

また、微分で
(d/dx)x^a=a*x^(a-1)になります …高校数学の数3で習うかと
よって、
∫x^(a-1)dx=(1/a)*x^a+C
→∫x^adx={1/(a+1)}*x^(a+1)+C
となります。

つまり、
∫1/x^2 dx=∫x^(-2)dx
={1/(-2+1)}*x^(-2+1)+C
=-x^(-1)+C
=-1/x+C

です。

Qy=e^x^x 微分 問題

y=e^x^x 微分 問題

y=e^x^xを微分せよ
両辺に自然対数をとる
logy=loge^x^x=x^x(loge)
logy=x^x
両辺に自然対数をとる
log(logy)=logx^x=x(logx)
両辺を微分すると
(1/logy)・(1/y)・y'=logx+1
y'=(logx+1)(logy)・y
y'=(logx+1)・loge^x^x・e^x^x

回答があっているかどうか教えて頂けませんか?
また、間違っている場合は解き方を示して頂けないでしょうか?

以上、よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

>y'=(logx+1)・loge^x^x・e^x^x

loge^x^x = x^x

とすべきでしょう。あとは合っていると思います。

Q(1)log((1+x)/(1-x))のtaylor展開を求めよ。どう

(1)log((1+x)/(1-x))のtaylor展開を求めよ。どうしてその結果かも説明すること。
(2)(1)を用いて,log2,log3,log5を計算せよ。下記の表を作ること。
展開の次数…有理数表示…小数表示


厳密値

説明まで教えていただけるとありがたいです。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

(1) できたのなら、それでいいでしょう。
理由の説明は、貴方が計算した過程を素直にそのまま書けばいい。
私の場合は、log z を z = 1 中心にテーラー展開して、
log(1+h) = 0 + h - (1/2)h^2 + (1/3)h^3 - …。
これに h = x を代入したものから、h = -x を代入したものを引けば、
log(1+x) - log(1-x) = 2x + (2/3)x^3 + …。

(2) No.3 に書いたのは、x = 1/4 を代入すると
log((1+x)/(1-x)) = log(5/3) = log5 - log3 になるから、
級数展開から log5 - log3 の近似値を出して、
先に求めた log3 の近似値を足せば log5の近似値になる という話。
最初から x = 2/3 を代入する などの方法でもよいと思う。

Qlim[x→0](e^x - e^-x)/x

lim[x→0](e^x - e^-x)/xの解き方について、答えには
(e^x - e^-x)/x
=(e^2x - 1)/xe^x
=(e^x - 1)/x ・ (e^x + 1)/e^x
→→1・2
x→0
と書いてあるのですが
(e^x - 1)/xはxを0に近づけると0/0で不定形になるはずにも関わらず、上記の答えでは1に収束しています
これはなぜですか?

Aベストアンサー

f(x)=e^xとすれば
(e^x - 1)/x=
(f(x)-f(0))/(x-0)
xを0に近づければ
これはf'(0)=1だということです


人気Q&Aランキング