(a は定数) Arctan a+x/1-ax 微分の解き方分かる方教えていただきたいです。

(a は定数) Arctan a+x/1-ax 微分の解き方分かる方教えていただきたいです。

No.2 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2022/09/27 12:28

どういう式ですか？

まっとうに「数式の書き方」の原則通りに読めば

[Arctan(a)] + x - ax　　　← x/1 = x ですから

ですが。
きっと違うんでしょうね。

だったら

Arctan[(a + x)/(1 - ax)]　　　　①

[Arctan(a + x)]/(1 - ax)

Arctan(a) + x/(1 - ax)

のどれ？


多分①だと思うので、そうであれば

　y = Arctan[(a + x)/(1 - ax)]

と置いて

　tan(y) = (a + x)/(1 - ax)　　　　　②

より、「商の微分」を使って

　d[tan(y)]/dx = [(1 - ax) + a(a + x)]/(1 - ax)^2
　　　　　　　= (1 + a^2)/(1 - ax)^2　　　　　　　②

一方
　d[tan(y)]/dx = {d[tan(y)]/dy}(dy/dx) = [1/cos^2(y)](dy/dx)　　③
また、②より
　1/cos^2(y) = [sin^2(y) + cos^2(y)]/cos^2(y)
　　　　　　　= tan^2(y) + 1
　　　　　　　= [(a + x)/(1 - ax)]^2 + 1
　　　　　　　= [(a^2 + 2ax + x^2) + (1 - 2ax + a^2･x^2)]/(1 - ax)^2
　　　　　　　= [(a^2 + 1)x^2 + a^2 + 1]/(1 - ax)^2
　　　　　　　= (a^2 + 1)(x^2 + 1)/(1 - ax)^2　　　　　④
従って、③は
　d[tan(y)]/dx = [(a^2 + 1)(x^2 + 1)/(1 - ax)^2](dy/dx)　　⑤


よって、②⑤より
　[(a^2 + 1)(x^2 + 1)/(1 - ax)^2](dy/dx) = (1 + a^2)/(1 - ax)^2
→　dy/dx = 1/(x^2 + 1)

よって
　{Arctan[(a + x)/(1 - ax)]}' = 1/(x^2 + 1)


（別解）[Arctan(x)]' = 1/(1 + x^2) の公式を知っていれば
t = (a + x)/(1 - ax) とおいて
　d[Arctan(t)]/dx = [1/(1 + t^2)](dt/dx)
から求めてもよいです。

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/10/03 21:04

蛇足.

Arctan [(a+x)/(1-ax)] = Arctan a + Arctan x (+ π のてきとうな整数倍).

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/09/27 11:53

かっこを付けてください。