【 数I 】 問題 aを定数とする。1≦x≦3において，xの 不等式ax+2a-1≦0･･････①

【 数I 】
問題
aを定数とする。1≦x≦3において，xの
不等式ax+2a-1≦0･･････①が常に成り立
つようなaの値の範囲を求めよ。

解答の最初の方
※写真

疑問
写真に四角で囲んだところがなぜそう
なるのか分かりません。教えてくださ
い。

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2022/07/15 18:19

①を変形すれば

ax + 2a - 1 ≦ 0　　　①
→　ax ≦ -2a + 1

これを a で割れば x だけの不等式になるが、a の正負で不等式の向きが変わる。

(i) a>0 なら、①を a で割っても不等式の向きは変わらずに
　x ≦ -2 + (1/a)　　　　②

1 ≦ x ≦ 3 なのだから、この x に対して③が成り立つには
　1 ≦ x ≦ 3 ≦ -2 + (1/a)
であればよい。

そういうことなのですが、分かりますか？

(ii) a<0 なら、①を a で割ると不等式の向きが変わって
　x ≧ -2 + (1/a)　　　　③

1 ≦ x ≦ 3 なのだから、この x に対して③が成り立つには
　-2 + (1/a) ≦ 1 ≦ x ≦ 3
であればよい。

(iii) a=0 なら、①は常に成り立つ。従って 1 ≦ x ≦ 3 に対しても成り立つ。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
写真の四角で囲んだところの意味がわかりました。
追加で質問してすみませんが、
a=0のとき、①は-1≦0となると思いますが、-1=0とはならないのに、-1≦0は成り立つのでしょうか？

お礼日時：2022/07/15 19:10

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2022/07/15 19:40

No.1 です。

「お礼」に書かれたことについて。

＞a=0のとき、①は-1≦0となると思いますが、-1=0とはならないのに、-1≦0は成り立つのでしょうか？

「≦」とは「以下」であって「等しいか、もしくは小さい」ということです。
「= or <」ということですから、「<」であれば「≦」に含まれます。

「-1」は「0 よりも小さい」ので、「０に等しいか、もしくは 0 よりも小さい」が成立します。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

お礼日時：2022/07/16 09:41