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x^3+2ax^2+(1-a)x+a(a^2-a-1)=0とx^2+ax-a=0とが共通な解をもつような実数aをすべて求めよ。更にこのとき、それぞれのaの値における3次方程式の解をすべて求めよ。

共通解の問題で2式の差を取っても、3次の項が消えないため、どう解けばいいのかわからなくて困っております。どうかどなたか、教えてください。

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A 回答 (1件)

x^3+2ax^2+(1-a)x+a(a^2-a-1)=0・・(1)


x^2+ax-a=0・・(2)

(1)と(2)の共通解をαとおきます。
このとき、
α^3+2aα^2+(1-a)α+a(a^2-a-1)=0・・(3)
α^2+aα-a=0・・(4)
が成り立ちます。

(4)を変形すると
α^2=-aα+a・・(5)です。

つまり、
α^3+2aα^2+(1-a)α+a(a^2-a-1)
=α×(-aα+a)+2aα^2+(1-a)α+a(a^2-a-1)
・・
=○α+△

と計算してまずはαを3次から1次にしましょう。

とすると、(3)より
○α+△=0 です。
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この回答へのお礼

freedom560さん
アドバイスありがとうございました。
次数下げを目標にやっていけば良い
ということですね!
すんなり解くことができました。
どうもありがとうございました。

お礼日時:2006/03/30 11:13

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