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高校数学の問題です!

2次方程式x^2-ax+1=0の一つの解が0と1の間にあり、他の解が2と3の間にあるとき、定数aの値の範囲を求めて下さい。

という問題で、なぜ
判別式D>0だったり、軸が正の部分にある
という条件では解かないのでしょうか?

二次関数y=x^2+2mx+m+6のグラフx軸の負の部分で異なる2点で交わるmの値の範囲を求める。

という問題では判別式と軸で考えてきました。

なぜ使わずに解くのでしょうか?

どうか回答お願いします。

A 回答 (5件)

実際にやってみればいいような気がする.

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数学を暗記と考えるから、そういう発想になるのでしょう!


判別式とは何か?
軸とは何か?
という基本的なことが理解できていないからでしょう!

それらが、不要という人もいるでしょうし、それは間違っていないですが、
ここでは、使えないというのが正解では!?
どうしてかは、自分で考えよう!そして、
数学という学問を貴方がどうようにかんがえているかが答えじゃないでしょうか?
暗記はAIやPCに任せばいいでしょう!これからは、人間しかできないであろう創造性が大切になるでしょう!そこに暗記って必要あるかな?それこそ不要では!
f(0)=1>0 なので
f(1)<0
f(2)<0
f(3)>0
この3つを満たせばいい!
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簡単に言うと「必要ないから」です。


n次方程式の判別式の定義は、「その方程式の全ての解の最簡交代式に最高次係数 a の (n-1) 乗をかけたものの 2乗」です。これは解の対称式になっているので、解と係数の関係から係数の式で表現することができます。
まずは、この定義をしっかり頭に入れてください。
この定義を2次方程式
ax²+bx+c=0 の解 x=α, β に適用すると
{a^(2-1)(α-β)}²
={a(α-β)}²
=a²(α²-2αβ+β²)
=a²{(α+β)²-4αβ}
=a²(-b/a)²-4a²(c/a)
=b²-4ac
となるのです。
しかし、2次方程式の場合平方完成をする事で機械的に判別式の値が計算されてしまうのでそれを用いる意味が殆どありません。
ax²+bx+c
=1/4a {4a²x²+4abx+4ac}
=1/4a {(2ax)²+2b(2ax)+4ac}
=1/4a {(2ax+b)²-(b²-4ac)}
と言う具合です。

2次式の問題はその殆どが平方完成と因数分解を突破口として解くことができます。従ってその途中で現れる副産物でしかない判別式にこだわっても仕方がないのです。

判別式はより高次な方程式の問題で威力を発揮します。特に代数的に解くことができない5次方程式では判別式に頼らざるを得ないのです。

私の恩師は高校程度の数学で判別式を用いなければ解けない問題は出題されないと言っていました。大切なのは判別式の定義と本質を理解することであって、すぐにそれに頼ろうとするべきではないと思います。

この問題の場合、2次式のグラフが 0<x<1 と 2<x<3 の範囲で x軸に交わることからアプローチするべきです。どこにも判別式の概念は登場しません。
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2次方程式の実数解は最大2個であるために、


f(x) = x^2-ax+1 = 0 の解が (0,1) に1個、(2,3) に1個あると言ったら
それだけで、f(0)>0, f(1)<1, f(2)<0, f(3)>0 と同値だからです。
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「一つの解が0と1の間にあり、他の解が2と3の間にある」は、



・2つの実数解をもつ。(D>0)
・2つの実数解はともに正である。(軸が正の部分にある)

という意味を含んでいるため、あえて明示する必要がないからです。
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