x^x=5

X^X=5が解析的に解けないということの証明はどうすればいいのでしょうか？宜しくお願いします。

No.7 ベストアンサー 回答者： grothendieck 回答日時： 2005/08/20 01:03

よくあるのが∫exp(-x^2)dxという不定積分を解析的にもとめられないかという質問と、扇形の弧と弦の長さが与えられている時に半径を求められないか（a,bを定数、rを未知数として(a/r)=sin(b/r)を解くことになる）という質問です。

このような問題の証明が書いてある文献をさんざん捜した末にやっと見つけたのが次の文献です。
　黒河龍三；日本數学物理學會誌 1, 17 (1927), ibid. 146
（物理学会誌の創刊号！文語調）
この文献にx^x=c の解がcの代数関数でないことも触れられています（代数関数とは多項式だけでなく、多項式の根によって定められる関数も含みます）。証明はLiouvilleの原論文(フランス語) を見ることになります。またこの文献以降に積分のRischのアルゴリズムなどが現れています。しかし最初に読むものとしては私はこれより良いものを見つけられませんでした(困ったもんです)。まず上記文献の一読をお勧めしたいと思います。さて、初等関数に限定しなければx^x=c の解をcの関数で表わすことができます。x^x=c を変形すると
　x = exp(log(c)/x)
逐次代入を繰り返すと
　x = exp(log(c)/exp(log(c)/exp(log(c)/(…))))
右辺が収束してcの関数を与えることは縮小写像の原理で保証されます。統計解析ソフトRで求めるには
#
x <- 2
for (i in 1:100){
x <- exp(1.609437912/x)
ix <- c(i,x)
write(ix, "")
}
と入力すれば良いでしょう。これを実行するとx=2.129372になりました。log5=1.609437912という近似による誤差を除くことも難しくはないと思います。

この回答へのお礼

お時間を割いて調査していただき誠にありがとうございます。
Liouvilleの原論文ですか。今度フランス人の友人にお願いしてみます。
大変、参考になりました。ありがとうございました。
この場をお借りして、graphaffineさん、siegmundさんにも御礼申し上げます。ありがとうございました。

お礼日時：2005/08/20 09:27

No.6 回答者： siegmund 回答日時： 2005/08/18 20:39

siegmund です．

有理数やよく知られている超越数と初等関数の組み合わせで
解が厳密に表現できるか，
ということですね．
なんでもありだと，前の回答のノリで，
x^x=5 となるような正数 x を chocho39-siegmund の定数と名付ける，
としちゃうとそれまでですから(^^;)．

冗談はさておいて，
まあ，常識的に解は超越数で，有理数やよく知られている超越数と初等関数の
組み合わせで解が書けるとは思えませんが，
証明しろと言われると...
前にも書いたように，この種の証明は非常に難しいようです．

超越方程式だからといって，いつでも超越数が解になるわけではなく，
例えば
x = sin(πx/3)
だと，解は x=0,±1/2 です．
こういう風に，偶然(？)に解が簡単に書ける場合もあります．
もちろん，上の例は解が簡単に書けるように方程式を作ったのです．

上の例は視察で解がわかる簡単な例です．
x^x=5 も実はそういう風になっていて，状況が複雑になっているだけであるが．
複雑な解を見つけるには神のごとき洞察力を必要とする，
という可能性がないわけではありませんが，
多分そうじゃないでしょうね．

というわけで，ご質問の本題はわかりませんので，
雑談でお茶をにごしております(^^;)．

この回答へのお礼

chocho39-siegmund の定数ですか。（笑）
siegmund-chocho39の方が語呂がいいですね（笑）
ありがとうございました。

お礼日時：2005/08/20 09:14

No.5 回答者： graphaffine 回答日時： 2005/08/18 15:22

またまた確認です。

失礼ながらchocho39さんは用語の意味を正確には把握できていないように見受けられます。

＞「代数的に解けないということの証明」に訂正させてください。

そもそもX^X=5は超越方程式なので代数的云々を考えることが無意味です。

＞１．代数的に解けないことの証明→「この方程式を満たす無限小数が、代数的無理数（例えば√２）でなく超越数（例えばネピア数eや円周率π）であることの証明」

解き方の問題と、解の性質の問題とごっちゃにしていませんか。

ということで、私がこの質問を解釈し直すとしたら次のようになります。

「X^X=5の厳密解（誤差の無い解）を求めることができるか」

推測ですが、現在は求め方は知られていないでしょう。
今後どうなるか（求めることができるか、或いはできないことがわかるか）はわかりません。

＞昔、数学に長けた友人が「この問題は解けない」といっていた

言ったということは事は事実でしょうが、その内容が正しいかは疑わしいと思います。
この辺のことを正確に言えるのは、数学の専門家（大学の数学の教官）あるいはそれに準ずるレベルの人だと思いますが、その友人はそこまでのレベルですか。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
確かに言葉の使い方が正確にわかっていなかったようです。
ご指摘の通り、「厳密解を求めることができるか？」が知りたい点です。
私の場合、前にsiegmundさんが仰ったとおり、初等関数(ベキ関数，指数関数，三角関数，対数関数)
の有限回の組み合わせで解を求めることができるか？という試みをしましたので、初等関数として知られている超越数の有限の組合せで厳密解を表現できるか？という質問になろうかと思ういます。

私の友人は、数学者ではありませんが、やはりこの問題は、素人が手を出せる問題じゃないんでしょうかね。

どうもありがとうございました。

お礼日時：2005/08/18 17:44

No.4 回答者： siegmund 回答日時： 2005/08/18 12:45

物理屋の siegmund です．

普通，解析的に解けるというのは，
初等関数(ベキ関数，指数関数，三角関数(逆三角関数もあり？)，対数関数)
の有限回の組み合わせで解が表されることを言うようです．
代数的だと，四則＋ベキ乗根，でしょうかね．

なんでもありだと，
0.6922 (理由は後述)より大きい正の数 y に対して
x^x = y となるような x を chocho39 関数と定義し
(２つある場合は大きい方を採る，これも理由後述)，
x = chocho39(y)
と表すことにする(つまり，x^x の逆関数を定義した)，
なんてこともできちゃいますから...

さて，
(1)　　x^x=5
ですが，一見して解析的に解が求まるとは思えません．
物理屋の間では，
「こんなもの解析的には解けないから...」
で済ましていますが，証明は...すみません，知りません(^^;)．
便乗ですが，数学に達者な方のご教示をいただきたいところです．

そういえば，前にどなたか(grothendieck さんだったか)が，
積分が解析的に求められるかどうかの証明はどのようにやるのか，
ということを言っておられたような気がします．

　　ｙ

　　│　　　　　　　＊
　　│　　　　　　＊
　　│　　　　　　＊
　　│　　　　　　＊
　　│　　　　　＊
　　│　　　　　＊
　１＊　　　　＊
　　│＊　　＊
　　│　＊＊
　　│　　　　　　
　　│　　　　　　
　　└───────────　ｘ
　０　　　　　１

y = x^x (x≧0で連続関数)のグラフの概形は上のようになっていて，
「底」(極小)のところは，x = 1/e = 0.3679...，y = (1/e)^(1/e) = 0.6922...
です．
x=0 のところは極限値(１になる)をもって定義しています．
この関数の値は x が増えるにしたがって，ものすごい勢いで増えます．
階乗も増え方がすごいことで有名ですが，x^x は階乗よりさらに激しく増えます．

グラフからわかりますように
0.6922...＜y≦1 なら x^x = y の実数解が２つあり，
y＞1 なら実数解は１つです．

x=2 ですと y = 2^2 = 4
x=3 ですと y = 3^3 = 27
ですから，x^x = 5 の解は２よりちょっと大きいくらいの値になることが
わかります．
Mathmatica にやらせると，解は
x = 2.12937
です

と，ここまで書いて投稿しようとしたら，
No.3 への補足が出ていました．
せっかく書いたのでそのまま投稿しますが，
上の内容は質問の意図とはちょっと離れてしまったようですね．

> １．代数的に解けないことの証明→「この方程式を満たす無限小数が、
> 代数的無理数（例えば√２）でなく超越数（例えばネピア数eや円周率π）であることの証明」

具体的な数が超越数であるかどうかの証明はなかなか難しいようです．
e やπは確かに超越数である証明がありますが，
例えば e^π や π^e が超越数かどうかはわかっていない，
と聞いています．
e^π と π^e は値が意外に近い...いや，これは雑談でした．

> ２．解析的に解けないことの証明→
>「この方程式を満たす解が、無限級数で表現できないことの証明」

どんな超越数でも，それを表現する無限級数はあると思います．
e やπでも，無限級数表現はたくさんあります．

この回答へのお礼

ご丁寧に回答頂きありがとうございました。No5のお礼をご参照ください。

お礼日時：2005/08/18 17:46

No.3 回答者： ion12wat 回答日時： 2005/08/18 09:57

x≦0のときは，x^x=5に矛盾するので，

x>0を考えてみます。

与式の両辺を底がxのlogをとると，
x=logx(5)
⇔x-logx(5)=0

したがって，問題はこの方程式が代数的に解けるかということだと思います。
これは，少し考えていただければ分かると思いますが，
数値解を持ちません。

したがって，この問題は数値解析的にも，代数的にも解を求めることはできないと思います。

この回答への補足

ありがとうございます。
「数値解を持ちません」ということですが、有理数の解を持ちませんということですね。この方程式を満たす実数は無限小数として明らかに存在します。数値解を持たないとはどういうことでしょうか？数値解析的には求められると思いますが。

質問が悪かったと反省しています。以下のように訂正させてください。
１．代数的に解けないことの証明→「この方程式を満たす無限小数が、代数的無理数（例えば√２）でなく超越数（例えばネピア数eや円周率π）であることの証明」
２．解析的に解けないことの証明→「この方程式を満たす解が、無限級数で表現できないことの証明」

最終的には、この解が超越数の組合せ（例えばlog2 3＋√３)でも表現できないような超越数であるかどうかを知りたいのですが、いかがでしょうか？

補足日時：2005/08/18 11:20

No.2 回答者： xeno-rd 回答日時： 2005/08/17 23:45

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No.1 回答者： graphaffine 回答日時： 2005/08/17 23:39

確認です。

この問題が解析的に解けないと言うことは確かですか。
何に書いてありましたか。

解析的に解くとはどういうことか、定義を教えてください。

この回答への補足

「代数的に解けないということの証明」に訂正させてください。
昔、数学に長けた友人が「この問題は解けない」といっていたのを鵜呑みにしているのですが、確かに自分でも相当考えたのですが解けません。ひょっとして解けるのでしょうか？

補足日時：2005/08/18 00:04