二つの解をもち、異符号のとき

高校二年生で数IIをやっています。実数解の符号についておしえてください。

まず、自分が理解してるところまで説明します。

二つの解と、二つの異なる実数の意味の違いについては理解しています。
「二つの異なる実数解」のときはD＞０ですよね。
「二つの実数解」のときは重解を含むのでD≧０ですよね。

ここで、教科書に

二つの実数解をもつとき（D≧０）のときに、α、βが異符号ならばαβ＞０

とかいてあったのですが、異符号のときに重解になるときってありませんよね？？たとえば、－２と２は異符号ですが、これらが重解になるって一体どういう状態なんでしょう？？だから、αβが異符号のときはいつでもD＞０であると思うんですが、わたしの考えだと教科書がうそってことですか？わたしはなにか勘違いをしていますか？

質問がわかりづらくてすみません。
ようは

「教科書にかいてあった、二つの実数解（D≧０）のとき、異符号となるのはおかしいんじゃないか」ということです。異なる二つの実数解のとき（D＞０）のときにかぎらず、異符号の場合に関してははD＞０では？
というものです。

どうかご理解してください＞＜よろしくおねがいします。

No.6 ベストアンサー 回答者： postro 回答日時： 2006/05/27 18:33

＞何度も言って申し訳ないんですが、D＞０のときに異符号になって、αβ＜０となるのはわかってるんです。

↑この発言は多分勘違いだと思います、正確に言うと
D＞０のときには、同符号になることも異符号になることもどちらともいえないこともあって、もし異符号になる場合は、αβ＜０となる

＞D≧０のときというのは、D＝０の場合を含んでいるということですよね。でもD＝０のときは二つの解は異符号になりませんよね？
おっしゃるとおりです

＞なのにどうして「D≧０」のときには「D＝０」が含まれてるにもかかわらず、異符号になるといっていいのでしょうか・・・？？もしかしたら、十分条件や、必要条件？がわかっていないのかもしれません；；
「「D≧０」のときには（必ず）異符号になる」とは言ってないはずです。「同符号になることも異符号になることもどちらともいえないこともある」です。「異符号になる「こともある」」です。

＞もう一度整理させてください。
＞D≧０のときに異符号ならばαβ＜０が成り立つ
＞ということは「D≧０という範囲の中」で、「D＝０」のとき異符号は成り立っていないけど、「D≧０の中にはD＞０」が成り立っているから、αβ＜０と言えるよね。つまりD≧０のときはαβ＜０といえるよね。ということですか？
↑ちょっと書き直させていただくと
「D≧０という範囲の中」で、「D＝０」のとき異符号にはならないけど、「D≧０の中にはD＞０」が含まれているから、「異符号ならばαβ＜０」と言ってもいいよね。つまりD≧０のとき「異符号ならばαβ＜０」といえるよね。

＞あくまでも「D≧０」という範囲になったら、「D＝０」で異符号になる！というわけではないですよね？いつでもD＝０のときは異符号と考えていいんですよね？？
これもちょっと書き直させていただくと
「D≧０」という範囲になったら、「D＝０」では絶対に異符号にはならない。D＝０のときは「同符号」か「どちらともいえない」かのどちらかである。

この回答へのお礼

みなさん、ありがとうございました。今日テストが終わりました！わたしの質問に根気よく回答してくださり、どうもありがとうございました。
これからも、わからない点があるときは悩んでしまうと思いますが、嫌になるほど悩んでしまったときも、数学を捨てないでがんばろうと思います。

お礼日時：2006/06/02 17:34

No.5 回答者： take008 回答日時： 2006/05/27 13:17

> 「Ｄ≧０ のとき α、βが異符号 ならば αβ＜０」が成り立たないのは

　……
> 「Ｄ≧０ かつ α、βが異符号 かつ αβ＜０でない」ということです。

> この説明は、わたしの疑問に思った命題を数学的に説明すると矛盾が生じるということですよね。

違います。
あなたがウソではないかと疑問をもった命題について，
命題がウソだとする（成り立たないとする，否定する）と矛盾が生じるといっています。
否定が矛盾しますから，命題は正しいのです。

「Ｄ＝０ のとき α,βが異符号ならば αβ＜０」の否定も
「Ｄ＝０ かつ α,βが異符号 かつ αβ<0でない」となって矛盾ですから，
「Ｄ＝０ のとき α,βが異符号ならば αβ＜０」は正しいのです。
たぶん，これが気持ち悪く感じているのでしょうね。

より極端な例
「ｘ＝１ かつ ｘ＝２ ならば ｘ＋ｘ＝３」も
「ｘ＝１ かつ ｘ＝２ ならば ｘ＋ｘ＝１００」も正しいのです。
なぜなら，これらの否定が
「ｘ＝１ かつ ｘ＝２ なのに ～」となって矛盾するからです。

「Ｐでない」とすると矛盾する，ということは，
「Ｐでないということはない」ということです。
だから「Ｐである」と言ってしまうのは，多少気持ちが悪いですが，数学ではこれを「Ｐである」と認めます。
「￢￢Ｐ⇒Ｐ」を二重否定の原理といいます。

気持ちが悪いと感じたあなたの感性は間違っていません。
ちょっと，行き過ぎましたけど。

この回答への補足

そうですね；行き過ぎですよね。すみません。

Ｄ＝０ のとき α,βが異符号ならば αβ＜０でない（命題の否定）

とすると、矛盾するということは

D＝０のときα、βが異符号でないというわけでもない。

ということになって、これを数学では

「Ｄ＝０ のとき α,βが異符号ならば αβ＜０」と認めるので、これは正しいということですね？

実際にＤ＝０ のとき α,βが異符号ならば αβ＜０になるときの具体例などはありませんか？？

補足日時：2006/05/27 14:44

No.4 回答者： postro 回答日時： 2006/05/27 10:26

先ず、

＞　α、βが異符号ならばαβ＞０
これはαβ＜０の勘違いですね
それから、
＞　異符号の場合に関してははD＞０
↑これは正しいけれど、「D＞０ならば二つの実数解は必ず異符号になる」は間違いですね。
以上納得していただいたうえで、

次の文に違和感はありますか？
二つの実数解をもつとき（D≧０のとき）、
α、βは同符号の場合と、異符号の場合と、さらに
少なくともどちらかの解が０の場合は、同符号とも異符号ともいえない場合の３つの場合がある。
同符号の場合は、αβ＞０、　　異符号の場合は、αβ＜０　が成り立つ。

次の文はいかがですか？
二つの実数解をもつとき（D≧０のとき）、
D=0　ならば、二つの解が異符号ということはなく、同符号の場合と
同符号とも異符号ともいえない場合（←重解が０の場合）の２つの場合がある。
また、D＞0 ならば
α、βは同符号の場合と、異符号の場合と、さらに
同符号とも異符号ともいえない場合（←どちらかの解が０の場合）の３つの場合がある。
どちらにしても（すなわち（D≧０）のときは）同符号の場合は、αβ＞０、　　異符号の場合は、αβ＜０　が成り立つ。
教科書はこの最後の行
「どちらにしても（すなわち（D≧０）のときは）同符号の場合は、αβ＞０、　　異符号の場合は、αβ＜０　が成り立つ。」
が言いたいのでしょう。

この回答への補足

かきまちがえてしまいました；わたしの質問文の訂正ありがとうございます^^場合わけしてくださってわかりやすいです＞＜ありがとうございます。postroのアドバイスの内容を紙にかいてイメージしてみたんですが、

二つの実数解をもつとき（D≧０のとき）
D=0　ならば・・・
D＞0 ならば・・・という文章についてはわかりました。

でもやっぱり気になるのが「D≧０」のときです。

何度も言って申し訳ないんですが、D＞０のときに異符号になって、αβ＜０となるのはわかってるんです。
D≧０のときというのは、D＝０の場合を含んでいるということですよね。でもD＝０のときは二つの解は異符号になりませんよね？なのにどうして「D≧０」のときには「D＝０」が含まれてるにもかかわらず、異符号になるといっていいのでしょうか・・・？？もしかしたら、十分条件や、必要条件？がわかっていないのかもしれません；；

もう一度整理させてください。

D≧０のときに異符号ならばαβ＜０が成り立つ

ということは「D≧０という範囲の中」で、「D＝０」のとき異符号は成り立っていないけど、「D≧０の中にはD＞０」が成り立っているから、αβ＜０と言えるよね。つまりD≧０のときはαβ＜０といえるよね。ということですか？

あくまでも「D≧０」という範囲になったら、「D＝０」で異符号になる！というわけではないですよね？いつでもD＝０のときは異符号と考えていいんですよね？？

試験前なのにこんなことをずっと考えていて、なんだか勉強の効率悪い気がしてきました。でも解決しないいまま問題解くのはいやで...。この考え方で納得していいんでしょうか、回答よろしくおねがいします；

補足日時：2006/05/27 12:09

No.3 回答者： at9_am 回答日時： 2006/05/27 09:43

簡単に書くと

二つの実数解を持ち、かつ、α、βが異符号である
↓
αβ＜０

ということです。
「二つの実数解を持つ」という条件は、なければα、βの符号について論じるわけには行きませんので必要ですが、それ以上の意味はありません。

No.2 回答者： take008 回答日時： 2006/05/27 01:32

「Ｄ≧０ のとき α、βが異符号 ならば αβ＜０」

がウソ，すなわち成り立たない，と思うわけですね。

「ｐ のとき ｑ」（「ｐ ならば ｑ」と同じ）が成り立たないのは
「ｐ なのに ｑでない」（「ｐ かつ ｑでない」と同じ）ということです。

「Ｄ≧０ のとき α、βが異符号 ならば αβ＜０」が成り立たないのは
「Ｄ≧０ かつ『α、βが異符号 ならば αβ＜０』でない」ということで，また
「Ｄ≧０ かつ『α、βが異符号 かつ αβ＜０でない』」ということで，さらにまた
「Ｄ≧０ かつ α、βが異符号 かつ αβ＜０でない」ということです。
こんなことないでしょう。

「α,βが異符号 ならば Ｄ＞０」なので「Ｄ≧０」の「Ｄ＝０」はなくてもいいけれども，あってはいけないわけではありません。
「なくてもいいものをどうしてつけるのか？」 と疑問はまだ解消しませんね。

「α、βが異符号 かつ αβ＜０でない」のはどういうときかというと，
α＝＋2ｉ，β＝－2ｉ ⇒ αβ＝4＞０
α＝＋(1＋ｉ)，β＝－(1＋ｉ) ⇒ αβ＝－2ｉ 大小関係は考えられない
のように虚数のとき，すなわち Ｄ＜０ のときなのです。
ウソにならない範囲でなるべく広くしておきたいから，「Ｄ≧０」としているのです。

この回答への補足

とても数学的で丁寧な説明、ありがとうございます。自分の中でわかりそうなかんじがするのですが、全体のつながりがよく見えていないので（すみません読解力不足です）take008さんのしてくださった回答の内容を、自分の言葉でさせてもらいますので、あっているかどうか確認、補足への回答お願いします。

まず、

「Ｄ≧０ のとき α、βが異符号 ならば αβ＜０」

というのは、わたしの疑問点をきちんとした命題にしてくれたのですよね。

そして、

＞「ｐ のとき ｑ」（「ｐ ならば ｑ」と同じ）が成り立たないのは
「ｐ なのに ｑでない」（「ｐ かつ ｑでない」と同じ）ということです。

「Ｄ≧０ のとき α、βが異符号 ならば αβ＜０」が成り立たないのは
「Ｄ≧０ かつ『α、βが異符号 ならば αβ＜０』でない」ということで，また
「Ｄ≧０ かつ『α、βが異符号 かつ αβ＜０でない』」ということで，さらにまた
「Ｄ≧０ かつ α、βが異符号 かつ αβ＜０でない」ということです。

この説明は、わたしの疑問に思った命題を数学的に説明すると矛盾が生じるということですよね。つまりこれではD＞０のときにもα、βが成り立たないことになるわけですね？

＞「α,βが異符号 ならば Ｄ＞０」なので「Ｄ≧０」の「Ｄ＝０」はなくてもいいけれども，あってはいけないわけではありません。
「なくてもいいものをどうしてつけるのか？」 と疑問はまだ解消しませんね。

矛盾が生じるので、D≧０のときにαβは成り立つということになりますが、どうしてD＝０はなくてもいいのにつけるのか、ということですよね。そうです、そこが疑問です。


＞「α、βが異符号 かつ αβ＜０でない」のはどういうときかというと，
α＝＋2ｉ，β＝－2ｉ ⇒ αβ＝4＞０
α＝＋(1＋ｉ)，β＝－(1＋ｉ) ⇒ αβ＝－2ｉ 大小関係は考えられない
のように虚数のとき，すなわち Ｄ＜０ のときなのです。

「α、βが異符号 かつ αβ＜０でない」のは、αβが０より大きくなるとき。また、大小関係を考えない虚数のとき。ということですよね。ここまで何を言っているのかわかります。

最後の

＞ウソにならない範囲でなるべく広くしておきたいから，「Ｄ≧０」としているのです。

この説明で納得できそうだったのですが、ウソにならないとはどのようなことでしょうか？D＝０を入れなくていいのに入れてる理由は、どの部分にかかれているのでしょう？前の文章とのつながりが理解できませんでした；すみません。補足への回答、よろしくお願いします。

補足日時：2006/05/27 09:31

No.1 回答者： j-mayol 回答日時： 2006/05/27 01:31

まず、教科書の命題は写し間違いかと・・

２つの実数解を持つときその解をα、βとすると
その解が異符号ならばαβ＜０となるはずです。
この命題で「２つの実数解を持つ」というのは前提条件であるだけで
αβ＜０を満たさない場合も含んでよいのではないですか？
つまり、二つの実数解を持つ場合には同符号と異符号の場合があり、
異符号の場合はαβ＜０となる。って言ってるだけです。
当然同符号になる場合には重解を持つ場合も含みます。
おっしゃっているように「異符号ならばD>0」は正しいのですが、
教科書の記述は決して「異符号ならばD≧０」という命題でないですし
「D≧０ならば異符号」という命題でもないのです。