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こんばんは。
数学Bの問題なのですが,解答を見てもなぜそうするのかが
よくわからないので,解説をお願いします。

(問題)
x^2+xy-6y^2-x+7y+k …(*)
がx,yの1次式の積に因数分解できるように,定数kの値を定めよ。

(解答)
(*)=0とすると
x^2+(y-1)x-(6y^2-7y-k)=0
D=(y-1)^2+4(6y^2-7y-k)=25y^2-30y+1-4k=0
xがyの1次式で表されるためには,25y^2-30y+1-4k=0が重解をもてばよい。
ゆえにD/4=(-15)^2-25(1-4k)=0 よって k=-2


多分,どうして判別式を2つ考えなければならないのかが理解できていないと思います(^^;
よろしくおねがいします。

教えて!goo グレード

A 回答 (2件)

とりあえず、おいらの解答をかきます。


(*)が因数分解できたなら、(x+ay+c)(x+dy+e)となるので、
x^2+xy-6y^2-x+7y+k=x^2+(a+d)xy+ady^2+(c+e)x+(ae+dc)y+ce
これより、a+d=1 ad=-6 c+e=-1 ae+dc=7 ce=k
だから、a=1-d (d-1)d=6 (d-3)(d+2)=0 (a d)=(-2 3),(3 -2)
c=-1-e ae+dc=-2e+3c=-2e-3(1+e)=7 or 3e-2c=3e+2(1+e)=7
e=-2 or 1 c=1 or -2
よってk=-2...

あれ?判別式つかってませんね...(笑)

判別式のほうですが、他の人が回答してそうだけど...
最初の判別式では、xの方程式が実数解をもつという条件をしらべます
せいかくにはだから≧0ですね...そうすると、もとの式は
(x+y+1-√25y^2-30y+1-4k)(x+y+1+√25y^2-30y+1-4k)
とかけますね...
問題はxyの一次式になるのだから、ルートの中身は完全平方でないといけません
すると丁度、判別式が0、重解を持つことが条件となります。
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この回答へのお礼

解説ありがとうございました!
実を言うとこの質問は弟から受けたのですが,
私も「おいらの解答」だろうと思ったので,本の解説に「!?」でした。
柔軟な考え方を持ちたいものです…(笑)

お礼日時:2003/03/25 23:53

ax^2+bx+c を因数分解するとき


=0 と置いて解α、βを求めれば
a(x-α)(x-β) と因数分解できる、ということは分かっていますね。

さてそこで、解の公式を使います。
ご質問の2次式ですが、解の公式の√の中が
yの2次式(最初の判別式D)になります。これは=0でなくてもいいです。

1次式の積に因数分解できる、ということは√が消えるということです。
√が消えるためには中が ( )^2 になれば良い。
ではyの2次式が重解を持てばよい。
重解を持つ条件は判別式を考えればよい。

となります。
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この回答へのお礼

よくわかりました!
丁寧な解説ありがとうございました^^

お礼日時:2003/03/25 23:47

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