No.2ベストアンサー
- 回答日時:
x^2 - 2kx + k + 6 = 0
を次のように,k を含む項と含まない項で左辺と右辺に分けて変形します.
x^2 + 6 = 2kx - k
これは,
y = x^2 + 6 …(1)
y = 2kx - k …(2)
との交点のx座標を求める方程式と解釈できるので,
もとの2次方程式の解は,上の2次関数と直線との交点のx座標として求められます.
したがって,
>1、異なる2つの正の解をもつ。
となるには,
(1) と (2) が x ≧ 0 の部分で異なる2点の交点を持たないといけません.
すでに,
> 判別式
> D=(k+2)(k-3)>0
> k<-2,3<k
が求められていますので,異なる2点は持っています.
あとは,x ≧ 0 の部分で交わるための条件を考えればよいので,
グラフから,(2)の傾きが正で,かつ,y切片が6より小さければよいので,k > 0 かつ -k < 6 となります.
∴ k > 0
判別式の条件と併せると,3 < k となります.
>2、異なる2つの負の解をもつ。
これも同様に,(2)の傾きが負で,かつ,y切片が6より小さければよいので,k < 0 かつ -k < 6 となります.
∴ -6 < k < 0
判別式の条件と併せると,-6 < k < -2
>3、異符号の解をもつ。
異符号を持つためには,(2)のy切片が6より大きければよいので,
-k > 6
判別式の条件と併せると,k < -6
となります.
No.4
- 回答日時:
ちなみにグラフを描かないで、そのまんまストレートにやると次のように冗長になります。
x=k±√(k^2-k-6)、2つの解が異なる実数解になるには、k^2-k-6>0 → -2<k、k>3 …(*)
(1)小さい方の解が、k-√(k^2-k-6)>0を満たせばよい。
k>0を条件として両辺正だから k>√(k^2-k-6) → k^2>k^2-k-6 → k>-6よりk>0、これと(*)から k>3
(2)大きい方の解が、k+√(k^2-k-6)<0を満たせばよい。
k<0を条件として両辺負だから k<-√(k^2-k-6) → k^2>k^2-k-6 → -6<k<0、これと(*)から -6<k<-2
(3)解と係数の関係から2解の積=k+6<0 → k<-6、これと(*)からk<-6
No.3
- 回答日時:
>グラフを使って解きたいのですが、どうやればいいのですか?
グラフを使うなら、x^2+6=2k(x-1/2)と変形して、2次曲線:y=x^2+6と直線:y=2k(x-1/2)との交点を考える事になる。
この直線は、定点(1/2、0)を通る直線だから、傾き:2kがどのような条件を満たすべきかを考える事になる。
但し、この問題に限ればグラフより方程式で考えた方が簡単だろう。
2つの解をα、βとすると、解と係数の関係を使って、
>1、異なる2つの正の解をもつ。
判別式>0、α+β>0、αβ>0であれば良い。
>2、異なる2つの負の解をもつ。
判別式>0、α+β<0、αβ>0であれば良い。
>3、異符号の解をもつ。
αβ<0だけで良い。何故かというと、α+βの正負は不明。
しかも、判別式=(α+β)^2-4αβ>0 ((α+β)^2≧0、αβ<0)であるからね。
どっちが簡単な方法か → 数式だけでやるか、グラフでやるかは、case by caseで考えたら良い。
No.1
- 回答日時:
あとは、次の条件を加味して求めて下さい。
1、異なる2つの正の解をもつ。
y=f(x)=x^2-2kx+k+6 の軸のx=kが正 かつ f(0)>0
∴ k>0 かつ k+6>0
∴ k>0 (判別式の条件を加えると k>3)
2、異なる2つの負の解をもつ。
y=f(x)=x^2-2kx+k+6 の軸のx=kが負 かつ f(0)>0
∴k<0 かつ k+6>0
∴-6<k<0 (判別式の条件を加えると -6<k<-2)
3、異符号の解をもつ。
f(0)<0
∴k+6<0
∴k<-6 (判別式の条件を加えると k<-6)
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