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2次不等式X^2+MX+M<0が実数の解をもたないとき定数mの値の範囲を求めよ。
このときX^2+MX+M=0の判別式をDとすると
D≦0になるんですか?

A 回答 (4件)

判別式を使うのが好きな数学教師がいますが、私の高校時代の恩師は否定していました。

そもそも高次方程式の判別式とは、{全ての解から成る最簡交代式の二乗} というのが本来の定義です。その理屈が解っていれば結果的にそういう式や値が導き出されるので、判別式そのものをこねくり回す芸を身につける必要はない。少なくとも高校生には不必要だと断言していました。

この問題の場合、平方完成すると、

(X+M/2)^2<M^2/4-M=M(M-4)/4

となり、左辺は二乗なので 0 以上ですから、右辺が 0 以下の時実数解は無くなります。

M(M-4)/4≦0 ... (1)
0≦M≦4 //

この時の (1) 式こそ判別式そのものですよね。機械的に式の変形をひたすら行っていれば答えは自ずと導き出されるものなのです。
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確かに、2次方程式が実数解を持たない条件は D<0 で、


X²+MX+M<0が実数の解をもたないときは、
此れを0と置いた時の判別式が、0以下です。

でもこれは問題の式が成立する為の条件であって、答えでは無い筈です。
問題文は「定数Mの値の範囲を求めよ」ですから、
ここからMの取り得る範囲を求めないと、答えになりませんよね。
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定数m → 定数M ですね。



D≦0 です。

y=X^2+MX+M とおくと、
これは、下に凸の放物線です。

グラフを描くと
(ア) x軸と共有点をもたない  (D<0)
(イ) x軸と接する       (D=0)
(ウ) x軸と異なる2点で交わる (D>0)
の3つに分けられます。

このとき、
x^2+MX+M<0 が実数の解をもたない
すなわち、
グラフで、y<0 となる部分がない
のは、
(ア)と(イ)の場合です。

なので、
D≦0
になります。
「2次不等式X^2+MX+M<0が実数の解」の回答画像2
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(x+m/2)²+3m/4<0
(x+m/2)²<-3m/4 (左辺は二乗だからいつも>0になるので)

-3m/4<0 の場合、実数解がないことになるから

m>0


だけでいいんじゃないかなぁ?
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 ~~~~
/    /
~~~~
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| ̄ ̄ ̄|
|   |
  ̄ ̄ ̄
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数学的には、あなたが完全に正しいです。
数学的には、先生が完全に間違っています。
(一切の余地なくです)

「=」の記号は方程式を意味し、方程式は「両辺が等しいこと」以外の意味は一切持ちません。
「段落の使い方」や「幅」や「改行」によって、異なる意味を持たせるなどというルールは
ありません。
(「=」の記号を、世間の定義とは別に新たに定義すれば別です。)

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公的な研究機関の研究者です。
純粋数学の研究ではないのですが、数学をかなり使います。

数学的には、あなたが完全に正しいです。
数学的には、先生が完全に間違っています。
(一切の余地なくです)

「=」の記号は方程式を意味し、方程式は「両辺が等しいこと」以外の意味は一切持ちません。
「段落の使い方」や「幅」や「改行」によって、異なる意味を持たせるなどというルールは
ありません。
(「=」の記号を、世間の定義とは別に新たに定義すれば別です。)

ですが、そういう先生は、自分の間違いを認...続きを読む

Q数学Ⅱ 恒等式

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従って
  a + b = 0
  a = 1
よって
  b = -a = -1

(1)~(4)は何をするのか、肝心な問題文がないのでわかりません。

(1)恒等式です。

(2) 左辺= x(x - 1) + x = x² - x + x = x²
なので、与式は恒等式ではありません。
これが成立するのは
 x² = 2x
より
 x(x - 2) = 0
よって、x=0 または x=2 のときのみ。

(3) 左辺= 2 + 1/(x + 1) = (2x + 2 + 1)/(x + 1) = (2x + 3)/(x + 1)
なので、与式は恒等式ではありません。
これが成立するのは、分母が等しいので
 2x + 3 = 3
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=a(2x-y-z)+b(-x+2y-z)+c(-x-y+2z)
=a{(x-y)+(x-z)}+b{(y-x)+(y-z)}+c{(z-x)+(z-y)}
=a(x-y)-a(z-x)-b(x-y)+b(y-z)+c(z-x)-c(y-z)
=(a-b)(x-y)+(b-c)(y-z)+(c-a)(z-x)

ここで、a≧b≧c, x≧y≧z であるから
a-b≧0, x-y≧0 よって (a-b)(x-y)≧0 ・・・・・ ①
b-c≧0, y-z≧0 よって (b-c)(y-z)≧0 ・・・・・ ②
c-a≦0, z-x≦0 よって (c-a)(z-x)≧0 ・・・・・ ③

これより
(a-b)(x-y)+(b-c)(y-z)+(c-a)(z-x)≧0

よって
3(ax+by+cz)-(a+b+c)(x+y+z)≧0

したがって
(a+b+c)(x+y+z)≦3(ax+by+cz)

等号成立は、①、②、③より
(a=b または x=y) かつ (b=c または y=z) かつ (c=a または z=x)
つまり
a=b=c または x=y=z


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3(ax+by+cz)-(a+b+c)(x+y+z)
=3ax+3by+3cz-ax-ay-az-bx-by-bz-cx-cy-cz
=a(2x-y-z)+b(-x+2y-z)+c(-x-y+2z)
=a{(x-y)+(x-z)}+b{(y-x)+(y-z)}+c{(z-x)+(z-y)}
=a(x-y)-a(z-x)-b(x-y)+b(y-z)+c(z-x)-c(y-z)
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ここで、a≧b≧c, x≧y≧z であるから
a-b≧0, x-y≧0 よって (a-b)(x-y)≧0 ・・・・・ ①
b-c≧0, y-z≧0 よって (b-c)(y-z)≧0 ・・・・・ ②
c-a≦0, z-x≦0 よって (c-a)(z-x)≧0 ・・・・・ ③

これより
(a-b)(x-y)+(b-c)(y-z)+(c-a)(z-x)≧0

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