２次不等式Ｘ^2+MX+M＜０が実数の解をもたないとき定数mの値の範囲を求めよ。 このときX^2+M

２次不等式Ｘ^2+MX+M＜０が実数の解をもたないとき定数mの値の範囲を求めよ。
このときX^2+MX+M＝０の判別式をDとすると
D≦０になるんですか？

No.4 回答者： お茶碗持つ方 回答日時： 2017/05/12 22:28

判別式を使うのが好きな数学教師がいますが、私の高校時代の恩師は否定していました。

そもそも高次方程式の判別式とは、{全ての解から成る最簡交代式の二乗} というのが本来の定義です。その理屈が解っていれば結果的にそういう式や値が導き出されるので、判別式そのものをこねくり回す芸を身につける必要はない。少なくとも高校生には不必要だと断言していました。

この問題の場合、平方完成すると、

(X+M/2)^2<M^2/4-M=M(M-4)/4

となり、左辺は二乗なので 0 以上ですから、右辺が 0 以下の時実数解は無くなります。

M(M-4)/4≦0 ... (1)
0≦M≦4 //

この時の (1) 式こそ判別式そのものですよね。機械的に式の変形をひたすら行っていれば答えは自ずと導き出されるものなのです。

No.3 回答者： kairou 回答日時： 2017/05/12 14:07

確かに、２次方程式が実数解を持たない条件は D＜０ で、

Ｘ²+MX+M＜０が実数の解をもたないときは、
此れを０と置いた時の判別式が、０以下です。

でもこれは問題の式が成立する為の条件であって、答えでは無い筈です。
問題文は「定数Mの値の範囲を求めよ」ですから、
ここからMの取り得る範囲を求めないと、答えになりませんよね。

No.2 回答者： guunagoona2015 回答日時： 2017/05/11 21:17

定数m　→　定数M　ですね。

D≦0 です。

y=X^2+MX+M とおくと、
これは、下に凸の放物線です。

グラフを描くと
（ア）　ｘ軸と共有点をもたない　　（D<0）
（イ）　ｘ軸と接する　　　　　　　（D=0）
（ウ）　ｘ軸と異なる２点で交わる　（D>0）
の３つに分けられます。

このとき、
x^2+MX+M<0 が実数の解をもたない
すなわち、
グラフで、y<0 となる部分がない
のは、
（ア）と（イ）の場合です。

なので、
D≦0
になります。

No.1 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2017/05/11 20:43

⇒

(x+m/2)²+3m/4<0
(x+m/2)²<-3m/4 （左辺は二乗だからいつも＞0になるので）
⇒
-3ｍ/4<0　の場合、実数解がないことになるから
⇒
m>0


だけでいいんじゃないかなぁ？