実数解と重解の関連性

pを実数とし、f(x)=x^2+2x+pとおく。xの方程式f(x)=0が相異なる2つの実数解を持ち、かつxの方程式f(f(x))=0が重解x=qをもつときp,qの値を求めよ

という問題があり、答えはp=(-1±√5)/2, q=-1なのですが、なぜそうなるのかが分かりません

どなたか教えていただければありがたいです。

No.4 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/03/22 21:39

pを実数とし、f(x)=x^2+2x+pとおく。

xの方程式
f(x)=0
x^2+2x+p=0
(x+1)^2=1-p
が相異なる2つの実数解を持つから
D/4=1-p>0
かつxの方程式
f(f(x))=0
f(x)=x^2+2x+p
{f(x)}^2+2f(x)+p=0
(f(x)+1)^2=1-p>0
f(x)=-1±√(1-p)
x^2+2x+p=-1±√(1-p)
x^2+2x+1=-p±√(1-p)
(x+1)^2=-p±√(1-p)

p<(-1-√5)/2の時
0<-p-√(1-p)<-p+√(1-p)
だから
相異なる4つの実数解
-1-√{-p+√(1-p)}<-1-√{-p-√(1-p)}<-1+√{-p-√(1-p)}<-1+√{-p+√(1-p)}
を持つ

p=(-1-√5)/2の時
0=-p-√(1-p)<-p+√(1-p)
だから
相異なる2つの実数解と1つの重解(q=-1)
-1-√{-p+√(1-p)}<-1-√{-p-√(1-p)}=-1=-1+√{-p-√(1-p)}<-1+√{-p+√(1-p)}
を持つ

(-1-√5)/2<p<(-1+√5)/2の時
-p-√(1-p)<0<-p+√(1-p)
だから
相異なる2つの実数解
-1-√{-p+√(1-p)}<-1+√{-p+√(1-p)}
と2つの虚数解
を持つ

p=(1+√5)/2の時
-p-√(1-p)<-p+√(1-p)=0
だから
1つの重解(q=-1)
-1-√{-p+√(1-p)}=-1=-1+√{-p+√(1-p)}
と2つの虚数解
を持つ

(-1+√5)/2<p<1の時
実数解は無い
4つの虚数解を持つ

だから

重解x=qをもつとき

p=(-1±√5)/2
q=-1

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/03/23 14:22

＞ f(f(x))=0が重解x=qをもつので、

＞ x²+2x+p－α=0 か、x²+2x+p－β=0 が重解x=qをもちます。

だから、そうじゃないって。 No.2 参照。

No.3 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2022/03/22 20:23

f(x)=x²+2x+p

f(x)=0 の実数解をα、β（α≠β）とすると、
f(x)=(x－α)(x－β)
α+β=－2…①
αβ=p…②
また、
D/4=1－p>0 より、p<1…③

f(f(x))={(x－α)(x－β)－α}{(x－α)(x－β)－β}
=(x²+2x+p－α)(x²+2x+p－β)

f(f(x))=0が重解x=qをもつので、
x²+2x+p－α=0 か、x²+2x+p－β=0 が重解x=qをもちます。
x²+2x+p－α=0 が重解x=qをもつとすると、
D/4=1－(p－α)=0 …⓸
このとき、x²+2x+1=0 より、重解x=－1 になるので、q=－1

⓸より、
α=p－1…⓸’
①より、
β=－2－α=－2－(p－1)=－p－1…①’
①’、⓸’を②に代入
(p－1)(－p－1)=p
p²+p－1=0
p=(-1±√5)/2
③を満たしています。
x²+2x+p－β=0 が重解x=qをもつときも同様です。

※ x²+2x+p－α=0 と x²+2x+p－β=0 がそれぞれ解x=qをもつとすると、
q²+2q+p－α=0
q²+2q+p－β=0
これより、
α=β
条件より、α≠β なので不適です。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/03/22 01:20

y = f(x) が重解を持つとは限らない。

そうなる場合と、
f(y) = 0 の2つの解 y = y₁, y₂ に対して
y₁ = f(x), y₂ = f(x) が共通解を持つ場合とがある。

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2022/03/21 22:52

[1] f(x) = 0が２つの実数解を持つとは

　　p ＜ 1
ということ。

[2]
　　f(f(x)) = 0
を
　　f(y) = 0
　　y = f(x)
という連立方程式だと思えばよし。連立方程式の1本目の式は単独で解けて
　　y = -1±√(1-p)
となる。さて連立方程式の２本目の式が重解qを持つのだから、
　　x^2+2x+(p-y) = 0
の判別式Dは0であり、そして（pともyとも無関係に）その重解qが決まる。

[3] 判別式Dが0だというのは具体的には
　　1 - p + y = 0
ということなので、結局
　　y = -1±√(1-p)
　　p = 1 + y
という連立方程式が得られた。yを消去して
　　p = ±√(1-p)
すなわち
　　p^2 + p - 1 = 0
これを解いて二つの解が得られる。ただし
　　p ＜ 1
でなくてはならんという条件がついているので確認を要す。