数学の問題について

次の問題の答えと解き方を教えてください。

関数 f(t)=∫[0,1]｜x^2-(1+t)x+t｜dx (0≦t≦1) について, 次の問に答えよ。

1) f(0) の値を求めよ。

2) f´(t)=0 (0<t<1) となるtの値を求めよ。

3) f(t) (0≦t≦1) の最小値を求めよ。

No.2 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2021/11/06 13:36

絶対値は、「中身の正負」で場合分けをして外すのが定石であり鉄則です。

A>0 のとき |A| = A
A<0 のとき |A| = -A (>0)
A=0 のとき |A| = A = -A (=0)

ですから。
A=0 は、上のようにどちらにも属するので、どちらか一方に含めて考えればよいです。

問題の場合、被積分関数は
　x^2 - (1 + t)x + t = (x - 1)(x - t)
です。
x^2 - (1 + t)x + t ≧ 0 となるのは
(x - 1)(x - t) ≧ 0 より
　x≦t または 1≦x
のとき。

x^2 - (1 + t)x + t ≦ 0 となるのは
(x - 1)(x - t) ≦ 0 より
　t≦x≦1
のとき。

従って、積分区間が[0, 1]、0≦t≦1 という条件なので、

(a) 0≦t のとき、被積分関数は
　|x^2 - (1 + t)x + t| = x^2 - (1 + t)x + t

(b) t≦x≦1 のとき、被積分関数は
　|x^2 - (1 + t)x + t| = -[x^2 - (1 + t)x + t]
= -x^2 + (1 + t)x - t

ということになります。

ここまで分かれば、あとは機械的な作業ですね。

f(t) = ∫[0,1]|x^2 - (1 + t)x + t|dx
= ∫[0, t][x^2 - (1 + t)x + t]dx + ∫[t, 1][-x^2 + (1 + t)x - t]dx
= [(1/3)x^3 - (1/2)(1 + t)x^2 + tx][0, t] + [-(1/3)x^3 + (1/2)(1 + t)x^2 - tx][t, 1]
= [(1/3)t^3 - (1/2)(1 + t)t^2 + t^2] + {[-(1/3) + (1/2)(1 + t) - t] - [-(1/3)t^3 + (1/2)(1 + t)t^2 - t^2]
= (1/3)t^3 - (1/2)(t^2 + t^3) + t^2 - (1/3) + (1/2)(1 + t) - t + (1/3)t^3 - (1/2)(t^2 + t^3) + t^2
= -(1/3)t^3 + t^2 - (1/2)t + (1/6)　　　　①

かな。

1) t=0 のとき、
　|x^2 - x| = |x(x - 1)|
で、0≦x≦1 で
　x(x - 1) ≦ 0
なので、被積分関数は
　-(x^2 - x) = -x^2 + x
であり
　f(0) = ∫[0,1](-x^2 + x)dx = [-(1/3)x^3 + (1/2)x^2][0,1]
　　= -1/3 + 1/2
　　= 1/6

これは①で t=0 とした値に一致します。

2) ①より
f'(t) = -t^2 + 2t - (1/2) = 0
となるのは
　t = 1 ± (√2)/2
0<t<1 なので
　t = 1 - (√2)/2

3) ①は３次関数であり、
　f''(t) = -2t + 2
より
　t = 1 - (√2)/2
のとき
　f''(1 - (√2)/2) = √2 > 0
また
　t = 1 + (√2)/2
のとき
　f''(1 + (√2)/2) = -√2 < 0
なので、増減表は

t = 0 のとき f(t) = 1/6
0< t < 1 - (√2)/2 で単調減少
t = 1 - (√2)/2 のとき極小
1 - (√2)/2 < t < 1 + (√2)/2 で単調増加
t = 1 + (√2)/2 のとき極大

となり、0<t<1 の範囲では
t = 1 - (√2)/2
のとき最小となる。

このとき、①より
　f(1 - (√2)/2) = 1/3 - (√2)/6)
かな？

計算違いがあるかもしれないので、ご自分でも確かめながら計算してください。

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/11/06 16:59

0≦t≦1

f(t)
=∫[0,1]｜x^2-(1+t)x+t｜dx
=∫[0,1]｜(x-1)(x-t)｜dx
=∫[0,t]｜(x-1)(x-t)｜dx+∫[t,1]｜(x-1)(x-t)｜dx
=∫[0,t](x-1)(x-t)dx-∫[t,1](x-1)(x-t)dx
=∫[0,t]{x^2-(1+t)x+t}dx-∫[t,1]{x^2-(1+t)x+t}dx
=[(1/3)x^3-(1/2)(1+t)x^2+tx][0,t]-[(1/3)x^3-(1/2)(1+t)x^2+tx][t,1]
=(2/3)t^3-(1+t)t^2+2t^2-1/3+(1/2)(1+t)-t
=-(1/3)t^3+t^2-(1/2)t+(1/6)
よって、
1)
f(0)=1/6

2)
f'(t)=-t^2+2t-(1/2)=-(t-1)^2+(1/2)=0
(t-1)^2=1/2
t=1-1/√2
∴
t=1-(√2)/2

3)
0≦t<1-(√2)/2の時f'(t)<0だからf(t)は減少
1-(√2)/2<t≦1の時f'(t)>0だからf(t)は増加
だから
t=1-(√2)/2でf(t)は最小となる
f(t)=-(1/3)t^3+t^2-(1/2)t+(1/6)
=(-t^2+2t-1/2)(t-1)/3+t/3
最小値は
f(1-(√2)/2)=(1/3)-((√2)/6)

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/11/06 14:17

f(t) = ∫[0,1] ｜(x-t)(x-1)｜ dx

　　= ∫[0,t] ｜(x-t)(x-1)｜ dx + ∫[t,1] ｜(x-t)(x-1)｜ dx
　　= ∫[0,t] (x-t)(x-1) dx + ∫[t,1] -(x-t)(x-1) dx
　　= ∫[0,t] (x-t)(x-1) dx + ∫[1,t] (x-t)(x-1) dx
　　= ∫[0,t] {x^2-(1+t)x+t} dx + ∫[1,t] {x^2-(1+t)x+t} dt
　　= [　(1/3)x^3 - (1/2)(1+t)x^2 + tx　]_(x=0,t)_(x=1,t)
　　= {(1/3)t^3 - (1/2)(1+t)t^2 + tt} - {0}
　　　+ {(1/3)t^3 - (1/2)(1+t)t^2 + tt} - {(1/3) - (1/2)(1+t) + t}
　　= - (1/3)t^3 + t^2 + (1/2)t + (1/6).
よって、
1)　f(0) = 1/6.
2)　f’(t) = - t^2 + 2t + (1/2).
　　f’(t) = 0 の解は、2次方程式を解いて t = 1 - √(3/2).
3)　f の増減表は下図のようになるから、
　　0≦t≦1 での最小値は、 f(1 - √(3/2)).
　　t　0　　　1-√(3/2)　　　1
　　f’　　-　　　0　　　　+
　　ｆ　　　　　最小

No.1 回答者： ことーますたー 回答日時： 2021/11/06 10:54

１くらいばできますよね

はじめに、t＝０を代入して
それから、積分計算するだけ