No.3ベストアンサー
- 回答日時:
貴方の書き方では、カッコが不足していて、問題が正しく理解できないので、正しい答えも不明です。
∫(r/(a^2+r^2)^3)/2dr,∫r/(a^2+r^2)^(3/2)drの二通りが考えられる。ひと組の括弧が足りないと、ふた組のカッコ不足まで心配になり、∫(r/(a^2+r^2))^³/2dr,∫(r/(a^2+r^2))^(3/2)drまで可能性が増える。
ここでは、I=∫r/(a²+r²)^(3/2)drとして、回答する。
r²=tと置いて、置換積分を行うと2rdr=dt、rdr=(1/2)dt だから
I=∫r/(a²+r²)^(3/2)dr=∫(1/2)/(a²+t)^(3/2)dt
F(t)=(a²+t)^(-1/2)をtで微分すると、F '(t)=(-1/2)(a²+t)^(-3/2) だから
I=-F(t)=-(a²+t)^(-1/2)+c=-1/√(a²+r²)+c となる。
この積分はダイポールのポテンシャルの計算に出て来る。
No.2
- 回答日時:
とにかく式は正確に書いてください。
被積分関数は、f(r)=(1/2)*r/(...)^3, or r/(...)^(3/2), or, ... とはっきりしません。
ここでは、f(r)=r/(...)^(3/2) であろうと解釈して進めます。この場合、
(d/dr)(...)^(-1/2)=-r*(...)^(-3/2). ですから、ほぼ暗算レベルです。
No.1
- 回答日時:
rには3/2がかかっていないのね?
なら、r²=tとおく
2rdr=dt
与式=(1/2)∫1/(a²+t)³/²dt
=(1/2)∫(a²+t)⁻³/²dt
=(1/2)∫{(-2)(a²+t)⁻¹/²}'dt
=(1/2)・(-2)(a²+t)⁻¹/²+c
=-1/√(a²+r²)+c
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