∫r/(a^2+r^2)^3/2drの計算の解説してほしいです。お願いします！

∫r/(a^2+r^2)^3/2drの計算の解説してほしいです。お願いします！

No.3 ベストアンサー 回答者： majimelon37 回答日時： 2019/04/02 12:52

貴方の書き方では、カッコが不足していて、問題が正しく理解できないので、正しい答えも不明です。

∫(r/(a^2+r^2)^3)/2dr，∫r/(a^2+r^2)^(3/2)drの二通りが考えられる。ひと組の括弧が足りないと、ふた組のカッコ不足まで心配になり、
∫(r/(a^2+r^2))^³/2dr，∫(r/(a^2+r^2))^(3/2)drまで可能性が増える。
ここでは、Ｉ＝∫r/(a²+r²)^(3/2)drとして、回答する。
r²＝tと置いて、置換積分を行うと2rdr＝dt、rdr＝(1/2)dt　だから
Ｉ＝∫r/(a²+r²)^(3/2)dr＝∫(1/2)/(a²+t)^(3/2)dt
F(t)=(a²+t)^(－1/2)をtで微分すると、F '(t)=(－1/2)(a²+t)^(－3/2)　だから
Ｉ＝－F(t)=－(a²+t)^(－1/2)+c＝－1/√(a²+r²)+c　となる。
この積分はダイポールのポテンシャルの計算に出て来る。

No.2 回答者： gamma1311 回答日時： 2019/03/30 11:36

とにかく式は正確に書いてください。

被積分関数は、f(r)=(1/2)*r/(...)^3, or r/(...)^(3/2), or, ... とはっきりしません。
ここでは、f(r)=r/(...)^(3/2) であろうと解釈して進めます。この場合、
(d/dr)(...)^(-1/2)=-r*(...)^(-3/2). ですから、ほぼ暗算レベルです。

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/03/30 10:47

ｒには3/2がかかっていないのね？

なら、r²=tとおく
2rdr=dt
与式=(1/2)∫1/(a²+t)³/²dt
=(1/2)∫(a²+t)⁻³/²dt
＝(1/2)∫{(-2)(a²+t)⁻¹/²}'dt
=(1/2)・(-2)(a²+t)⁻¹/²+c
=-1/√(a²+r²)+c