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 内半径a[m]、外半径b[m]の同心導体球殻の間に抵抗率ρ[Ωm]の物質を満たし、外球を接地し、内球に電圧V[V]を加えたとき、両球殻間の抵抗R[Ω]と球状抵抗体に流れる全電流I[A]を求めよ。(問題の画像を添付してあります。)

という問題がありました。
 授業では、「R=ρ*l/S」(l:長さ、S:断面積)という式を習いましたが、今回は球の問題なのでこの式が適用できるかどうか分かりません。この場合、lの値は2bでいいのでしょうか?
また、断面積は「(b^2)*π-(a^2)*π」でいいのでしょうか?
 回答よろしくお願いします。

「電気磁気学で抵抗」の質問画像

A 回答 (3件)

こんにちは。



まず、はじめに・・・
>>>断面積は「(b^2)*π-(a^2)*π」でいいのでしょうか?

よいです。
小学生の算数の計算問題です。
しかし、抵抗値の問題の場合、断面積を求めても意味がないですよ。
なぜならば、
断面積は縦が大きくなっても横が大きくなっても増えますが、
抵抗値は、長さが増えれば増えますが、太さが大きくなると減るからです。


>>>授業では、「R=ρ*l/S」(l:長さ、S:断面積)という式を習いましたが、今回は球の問題なのでこの式が適用できるかどうか分かりません。

もちろん、その式が基本です。
ただし、あくまでもSは半径方向の距離の関数になることに注意してください。
つまり、aからbに向かうにしたがってだんだん抵抗値が小さくなる円盤同士の合成抵抗(直列つなぎ)として考えなくてはいけませんん。
この点で、No.1様は、
「dr が非常に小さければ、どちらの球面も同じ表面積 S = 4*π*r をもっているとみなせます。」
とおっしゃっていますが、それではまずいです。


さて、本題。

h: 高さ方向または半径方向の座標
S: 底面積
と置きます。

抵抗率ρ、長さD、断面積Sの抵抗の抵抗値Rは、
R = ρD/S   ← R=ρ*l/S のことです。
微小長さdhでは、
dR = ρdh/S

<円柱>
厚さdh、底面積Sの円柱の抵抗値は、
ρdh/S
(Sは定数)

<円錐>
高さb、底面積Aの円錐を、厚さdhの非常に薄い円盤の集まりだと考えて、
円錐の頂点から下にhだけ下りた部分の円盤の面積sは、
s = Sh^2/b^2
(sはhの二次関数)

<円錐台の抵抗>
円錐のてっぺんからaだけ下がった位置で水平にちょん切ったときの下側部分(円錐台)の抵抗は、
∫[h=a→b]dR = ∫[h=a→b]ρdh/s
 = ∫[h=a→b]ρdh/(Sh^2/b^2)
 = ρb^2/S∫[h=a→b]dh/h^2
 = ρb^2/S・[-1/h][h=a→b]
 = ρb^2/S・[(-1/b)-(1/a)]
 = ρb^2/S・(1/a - 1/b)


<球殻の抵抗>
以上のことから、球殻の抵抗値は、
ρb^2/S・(1/a - 1/b)
であることがわかりました。

ここから本当は、微小立体角を考えて、全方向に積分することになるのですが、
単に、Sを球の表面積4πb^2に取り替えるだけで、同じ結果が得られます。
すなわち、
ρb^2/(4πb^2)・(1/a - 1/b)
 = ρ(1/a - 1/b)/(4π)
が、球殻の抵抗です。

電流は、
V ÷ ρ(1/a - 1/b)/(4π)
 = 4πV/{ρ(1/a - 1/b)}
( = 4πVab/{ρ(b-a)} )
となります。


どっか計算を間違えているかもしれないので、検算してください。

以上、ご参考になりましたら幸いです。
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この回答へのお礼

丁寧な回答感謝します。
sanori様のおかげで解決することができました。本当にありがとうございまいた。

お礼日時:2009/06/06 19:26

ANo.1では積分計算と電流計算は質問者さんの宿題としたのですが、参考URLの2ページ目の (2)-(ii) にその両方が出ていますのでご参考まで。



ちなみに同じ問題は「詳解 電磁気学演習」(↓)の 「第5章 定常電流 3. 連続導体内の電流」 にある問題 [22] p.171 にも出てますので図書館か書店で確認してもいいでしょう。
http://www.amazon.co.jp/%E8%A9%B3%E8%A7%A3%E9%9B …

ANo.1で記載ミスがありました(2乗をつけ忘れました)。
【誤】dr が非常に小さければ、どちらの球面も同じ表面積 S = 4*π*r をもっているとみなせます
【正】dr が非常に小さければ、どちらの球面も同じ表面積 S = 4*π*r^2 をもっているとみなせます

参考URL:http://berno.tp.chiba-u.jp/lectures.files/Electr …
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この回答へのお礼

失礼ですが一つ目の回答とまとめてお礼させていただきます。
inara1様のおかげで解決しました。 わざわざ本の紹介までしてくださって、本当に感謝しています。 回答ありがとうございました。

お礼日時:2009/06/06 19:23

R = ρ*L/S は球の場合も円柱の場合も使えますよ。


ただし、L は全体の半径でなく、半径方向の微小長さ dr にします。なぜなら、R = ρ*L/S の式が使えるのは、同じ断面積 S を持つ柱状のものだけだからです。

球の場合、中心から距離 r にある球面(厚さのない球)と、距離 r + dr にある球面とではさまれた領域を考えます。dr が非常に小さければ、どちらの球面も同じ表面積 S = 4*π*r をもっているとみなせます。外側の球面の正確な面積は
   4*π*( r + dr )^2 = 4*π*( r^2 + 2*r*dr + dr^2 )
ですが、dr が r に比べて非常に小さければ
   r^2 >> r*dr >> dr^2
なので
   4*π*( r + dr )^2 ≒ 4*π*r^2
と近似できます。

したがって、dr が非常に小さければ、2つの球面は同じ面積をもっていると考えて構いません。つまり、中心から距離 r にある球面と、距離 r + dr にある球面とではさまれた領域の抵抗は、長さ dr 、面積 4*π*r^2 の柱状の抵抗になるので
   その抵抗 = ρ*dr/( 4*π*r^2 )
となります。問題の球殻の抵抗は、上の抵抗を r = a から r = b まで積分したものになります(答えは ρ*( b - a )/( 4*π*a*b ) )。同じ考えで、内半径 a、外半径 b、高さ L の同心円柱の抵抗も計算できます(答えは ρ*log( b/a )/( 2*π*L ) )。
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Q電荷が球殻内に一様に分布する問題について

「 内半径a,外半径bの球殻(aくb)があり,球殻の中心からの距離rとする.電荷Qが球殻部分(aくrくb)に一様に分布しているとき,電界と電位を求めよ.また,rくa,bくrは真空として真空の誘電率をε0する.」
という問題です.
この問題は試験問題だったため回答がないので,一応参考書などを読んで似たような問題を見たりしたのですが,今一つ理解できません.
もしよろしかったら,どなたか教えていただけないでしょうか?
よろしくお願いします.

Aベストアンサー

hikamiuさんが既にお答えされていますので、以下は具体的な計算のやり方についての話です。計算のやり方は大学の先生のご好意による講義ノート(参考URL)が公開されていますので、そこの7の6を参照してみてください。もっともその前に講義ノートの6の5で少し計算の地ならしをしてから進まれたほうが理解が速いかもしれません。

参考URL:http://www-d.ige.solan.chubu.ac.jp/goto/docs/djk1/p0idxA.ssi

Q同心球殻状の導体から作られるコンデンサー 電場 電位差 電気容量

半径aと半径b(a<b)の同心球殻状の導体から作られるコンデンサーを考える。
外側球殻が電荷Qを帯び、内側球殻が電荷-Qを帯びているとし、以下の問いに答えよ。
(1)外側球殻と内側球殻にはさまれた領域の電場を求めよ。
(2)外側球殻と内側球殻の電位差Vを求めよ。
(3)このコンデンサーの電気容量を求めよ。

という問題が解けません。
特に、同心球殻状の導体から作られるコンデンサーの考え方がわかりません。
どなたか解いていただけませんか。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

基本的な考え方だけ説明します。
「球面上に一様に分布した電荷qは、球内に電場を作らず、球外では
動径方向を向く電場E(r)=q/(4πεr^2)をつくる」(ε:真空の誘電率)

内球に電荷q1が分布するとき、
0<r<aでE1(r)=0,a<rでE1(r)=(1/4πε)(q1/r^2)
外球に電荷q2が分布するとき、
0<r<bでE2(r)=0、b<rでE2(r)=(1/4πε)(q2/r^2)
実際の電場は、E(r)=E1(r)+E2(r)

電荷は、内球の外面にq1,外球の内面に-q1,外球の外面にq2分布する。

電位は、
φb=∫[0→∞] E(r)dr=(1/4πε)(q1+q2)/b
φa=φb+∫[a→b] E(r)dr=φb+(q1/4πε)(1/a-1/b)

q1=-Q,q2=+Qより、電位差は、
V=φa-φb=(Q/4πε)(1/a-1/b)だから、
C=Q/V=(Q/4πε)/(1/a-1/b)

Q電磁気学の問題です

同心球コンデンサがあり、その内半径a[m]、外半径b[m]であるとき、球の中心を通る平面で2等分し、その半径にεの誘電体を満たすと全体の静電容量はいくらになるか
という問題なのですがわかりません!教えて下さい!
ちなみに答えはC=2π(ε0+ε)/(1/a-1/b) となっています

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まず、全体に誘電率 ε0 の誘電体を満たしたときの同心球の静電容量は分かりますね?
C1 = 4πε0/(1/a-1/b)
です。
ガウスの法則から半径 r (a<r<b)での電場の強さを求め、それをa~bで積分してab間の電位差 V1 を求めれば、電荷から静電容量が求まります。(C1 = Q/V1)


また、全体に誘電率 ε の誘電体を満たしたときの同心球の静電容量も分かりますね?
全く同様に
C2 = 4πε/(1/a-1/b)
です。

これが分かれば、あとはその各々の「半分」のコンデンサーを「並列接続」したと考えれば解けます。
C = C1/2 + C2/2

Q電磁気の問題について

電磁気の問題について質問させていただきます。

半径a、bの同軸円筒電極がある。内側電極と外側電極の間は導電率σの媒質で満たされている。軸方向は十分長く、端の影響は無視できるものとする。外側電極を設置し、内側電極に電位Vを与えたときに電極間に流れる電流を計算して、電極間の抵抗を求めたい。次の問いに答えよ。

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解答よろしくお願いいたします。

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したがって、このケースでは自由電荷は存在しないとして電界を求めることになります。

Q導体球殻の電位

内半径a 外半径b の導体球殻の中心に電気量q(>0)の点電荷を置くとき
各点における電位の分布を求めよ。無限遠方をV=0とする。

という問題で

まず、ガウスの法則を用いて電場をもとめて、そこから距離の積分をしてVを求めようとしました。


まず、境界は次の三つであっていますでしょうか。

(1)0<r<aの時(2)a≦r<b(3)B≦r

そして各場合の電場は

(1)の時、∫ε_0EdS=q より
E= q/4πr^2ε_0
(2)の時、
導体の内部なので電場E=0
(3)の時∫ε_0Eds=q
E=q/4πr^2ε_0

ここで電位を求める場合の方法ですが境界の値と計算方法に自信がありません。

(3)の時、

V=-∫(∞→r)E・dr = (q/4πε_0)・(1/r)

(2)の時、
V=-∫(∞→b)E・dr -∫(b→r)0・dr = (q/4πε_0)・(1/b)

(1)の時、

V= -∫(∞→b)E・dr -∫(b→a)E・dr - ∫(a→r)E・dr = (q/4πε_0)(1/r)

(1)の答えが解答では(q/4πε_0)(1/r)
ではなく
(q/4πε_0)((1/b)+(1/r)-(1/a))
となっていました。

なぜなのでしょうか。

ご教授お願い申し上げます。

内半径a 外半径b の導体球殻の中心に電気量q(>0)の点電荷を置くとき
各点における電位の分布を求めよ。無限遠方をV=0とする。

という問題で

まず、ガウスの法則を用いて電場をもとめて、そこから距離の積分をしてVを求めようとしました。


まず、境界は次の三つであっていますでしょうか。

(1)0<r<aの時(2)a≦r<b(3)B≦r

そして各場合の電場は

(1)の時、∫ε_0EdS=q より
E= q/4πr^2ε_0
(2)の時、
導体の内部なので電場E=0
(3)の時∫ε_0Eds=q
E=q/4πr^2ε_0

ここで電位を求める場合の方法ですが境界の値と計算方...続きを読む

Aベストアンサー

考え方も計算も、ほぼオッケーですよ。
(1)のときの電位ですが
V= -∫(∞→b)E・dr -∫(b→a)E・dr - ∫(a→r)E・dr = (q/4πε_0)(1/r)

真ん中の(b→a)の積分のときは、上で書かれているように E=0 なので
積分も0です。
ですから
V=(q/4πε0)( (1/b) - (1/∞) + (1/r) - (1/a) )
になりますね。

Q平行平面板導体

十分広い面積Sの2枚の平行平面板導体が間隔dを隔てて
真空中に置かれているとき、

1.上の導体板に正電荷q、したのp導体板にーqの負電荷を与えるた
ときに、
(1)上の導体板付近の電場Eを求める。
(2)2つの導体板の電位差Vを求める。
(3)この導体系の電気容量Cを求める。
(4)微小な電荷dqを負の極から正の極に移すに要する仕事dWを求める。

という問題で、
電場を求めるには、一般に
E=σ/ε0 σ:表面の電荷面密度

で求めますが、この場合は・・?
E=q/(S*ε0)
でいいのでしょうか?

Aベストアンサー

guiter さん,お久しぶりです.
専門家にマークするべきでしたね.こんどはそちらにしました.

回答を書いている途中に guiter さんの回答が出ましたので,
だいぶダブりがあります.

> ということは、
> (2)の回答は、上の導体板から下の導体板での電場を引いて
> V=2q/(S*ε0)
>
> それとも
> V=-∫EdSを使用するのでしょうか?

どうも根本的誤解があるようです(電場と電位の区別がついていない?).
まず,電位差の基本は(電場)×(距離)です.
これは,力学の仕事が(力)×(距離)であるのと同じことです.
今は電場が場所によりませんので基本通りで,電位差 V は
V = E*d = qd/(S*ε0)
です.
電気容量 C の定義 q = cV と組み合わせると,
C = S*ε0/d (おなじみの結果でしょう)が出てきます.

V=-∫E ds は電場が場所によって違うときの式です.
掛け算が積分になるのは,長方形の面積が(高さ)×(幅)だったのが,
曲線(場所によって高さが変わる)の下の面積が積分で表されるのと全く同じ理屈です.
大文字の S と小文字の s の違いにも注意してください.
今は小文字の s で,積分は線積分です.

ガウスの法則の話で ∫EdS という面積分が出てきますが,
そこらへんを混同されていませんでしょうか?

上にもちょっと出てきましたが,(仕事)=(力)×(距離)です
(力の方向と動く方向がちがうとその間の角度θの cosθ 分だけ修正が必要ですが).
もともと,単位電荷に働く電気力が電場です(これが電場の基本的定義).
したがって,電場が E なら 電荷 dq に働く力は E dq です.
そうすると,仕事は E dq × d = Ed dq = V dq = (q/C) dq になりますね.

察するに,この問題はこの系のエネルギーを求める話につながるんでしょうね.
電荷を運ぶに従って,導体板の電荷が変化しますから結局電位差も変化します.
少しずつため込んだ仕事が系のエネルギー U ですから
U = ∫{q=0~q} V dq = (1/C)∫{q=0~q} q dq = (q^2 / 2C)
になります.

guiter さん,お久しぶりです.
専門家にマークするべきでしたね.こんどはそちらにしました.

回答を書いている途中に guiter さんの回答が出ましたので,
だいぶダブりがあります.

> ということは、
> (2)の回答は、上の導体板から下の導体板での電場を引いて
> V=2q/(S*ε0)
>
> それとも
> V=-∫EdSを使用するのでしょうか?

どうも根本的誤解があるようです(電場と電位の区別がついていない?).
まず,電位差の基本は(電場)×(距離)です.
これは,力学の仕事が(力)×(距離)であるのと...続きを読む

Q同心球導体球の接地について

同心球導体球の接地について、過去に質問されていなかったのでおねがいします。
同心球導体球において、外側の球に電荷Qを与え、内側の球を接地した場合、電界はどのようになるのでしょうか?
(内側の球の半径a、外側の球の内径b、外径cです。)
回答は、
a<r<b、c<rの場合についてお願いします。

Aベストアンサー

(1)内球と外球の電荷
  外側の球の表面に電荷 Q を与えたとき、内側の球の表面に-Q'の電荷が誘起されるとします。
  すると、外側の球の裏面(内面)には Q' の電荷が誘起されます。このとき外側の球の表面の電荷を Q'' とすれば、外側の球の電荷の総量は Q なので、 Q' + Q'' = Q → Q'' = Q - Q'

(2)Q' を求める
  外球の外側にある半径 r ( c < r ) の球面を考えると、その球面に含まれる電荷は、内外の球の電荷の総和で、その値は
  -Q'(内側の球の表面電荷) + Q'(外側の球の裏面電荷) + Q - Q'(外側の球の表面電荷) = Q - Q'
  半径 r の球面上の電界を E1(r) とすれば、Gaussの定理より、4*π*r*E1(r) =( Q - Q')/ε → E1(r) = ( Q - Q' )/( 4*π*ε*r^2 ) ---[1]
  半径 r の球面上の電位を V1(r) とすれば、V1(r) = ∫[r~∞] E1(r) dr = ( Q - Q' )/( 4*π*ε*r )
  外側の球の表面電位は V1 = V1(c) = ( Q - Q' )/( 4*π*ε*c )

  内球と外球の間にある半径 r ( a<r<b ) の球面を考えると、その球面に含まれる電荷は、内側の球の表面電荷 -Q' だけだから、
  半径 r の球面上の電界を E2(r) とすれば、Gaussの定理より、4*π*r*E2(r) = - Q'/ε → E2(r) = -Q'/(4*π*ε*r^2) --- [2]
  半径 r の球面上の電位を V2(r) とすれば、V1 - V2(r) =∫[r~b] E2(r) dr = -Q'/(4*π*ε)*( 1/b - 1/r ) 。
  式[3]から、V1 =( Q-Q' )/( 4*π*ε*c ) なので、V2(r) = V1 + Q'/(4*π*ε)*( 1/b-1/r ) = ( Q-Q' )/( 4*π*ε*c ) + Q'/(4*π*ε)*( 1/b - 1/r )
  内側の球は接地されているので、V2(a) = 0  →  ( Q-Q' )/( 4*π*ε*c ) + Q'/(4*π*ε)*( 1/b - 1/a ) = 0
  したがって、Q' = Q/{ c* ( 1/a - 1/b + 1/c ) } = Q/{ 1 + c*( 1/a - 1/b ) } --- [3]

(3)電界分布
  式[3]を式[1],[2] に代入すれば
  E1(r) = ( Q-Q' )/( 4*π*ε*r^2 ) = Q*[ 1 - 1/{ 1 + c*( 1/a - 1/b ) } ]/( 4*π*ε*r^2 ) = Q*c*/[ { a*b/( a - b ) + c }*4*π*ε*r^2 ]
  E2(r) = -Q'/(4*π*ε*r^2) = -Q/[ { 1 + c*( 1/a - 1/b ) }*4*π*ε*r^2 ]

(4)まとめ
  a<r<b のとき、E = Q*c*/[ { a*b/( a - b ) + c }*4*π*ε*r^2 ]
  c<r  のとき、 E = -Q/[ { 1 + c*( 1/a - 1/b ) }*4*π*ε*r^2 ]

(1)内球と外球の電荷
  外側の球の表面に電荷 Q を与えたとき、内側の球の表面に-Q'の電荷が誘起されるとします。
  すると、外側の球の裏面(内面)には Q' の電荷が誘起されます。このとき外側の球の表面の電荷を Q'' とすれば、外側の球の電荷の総量は Q なので、 Q' + Q'' = Q → Q'' = Q - Q'

(2)Q' を求める
  外球の外側にある半径 r ( c < r ) の球面を考えると、その球面に含まれる電荷は、内外の球の電荷の総和で、その値は
  -Q'(内側の球の表面電荷) + Q'(外側の球の裏面電荷...続きを読む

Qある電磁気、電流密度についての問題。

半径a,bの金属製の円筒を2つ用意し、中心軸が一致するように置く。2つの円筒間を電気伝導率σの一様な導体で満たし、両極間に電位差Vを与えた時、電流密度iを求めよ。

といいう問題があるのですが。電位差Vを与えた時点で、ある決められた量の電荷は円筒に帯電している、、のですよね?そうすると、そもそも電流は流れてないんじゃないか?と思うのですが、おかしいでしょうか?

解答では、電流密度の定義から
i=σE
とおいて計算しているのですが…。

よろしくおねがいします。

Aベストアンサー

電位差を与える方法としては次の2つが考えられます.

(1) 2つの円筒を導線でつなぎ(問題に書かれている「電気伝導率σの一様な導体」とは別物),
途中に電池を入れる.
こうすると,電池-導線-内側円筒-電気伝導率σの一様な導体-外側円筒-導線-電池
という回路ができますから,定常電流が流れます.
この問題は円筒対称性を使って解くという設定でしょうから,
厳密に言うと2つの円筒を導線でつなぐというのは円筒対称性を破ることになりますが,
そこは目をつぶります.
そもそも,無限に長い円筒じゃないと円筒対称性を満たさないし...

(2) (1)の導線でつなぐのはやめて,例えば内側の円筒に電荷(正電荷としましょう)を与えておく.
当然,内側の円筒と外側の円筒の間には電位差があります.
電流は内側から外側に向かって流れますが,
それに伴い,内側の円筒の電荷は減り,その分外側の円筒に電荷が貯まります.
電位差は時間と共に減少し,電流も同じく減少します.
最終的に電位差がなくなると電流は流れなくなってしまいます.

(1)は定常電流タイプ,(2)はコンデンサー放電タイプ,ですね.
問題で,単に「電流密度iを求めよ」と書いているところを見ると,
(1)の想定しているのでしょうかね.
(2)だったら,電流の時間変化など問題にしたいところです.

電位差を与える方法としては次の2つが考えられます.

(1) 2つの円筒を導線でつなぎ(問題に書かれている「電気伝導率σの一様な導体」とは別物),
途中に電池を入れる.
こうすると,電池-導線-内側円筒-電気伝導率σの一様な導体-外側円筒-導線-電池
という回路ができますから,定常電流が流れます.
この問題は円筒対称性を使って解くという設定でしょうから,
厳密に言うと2つの円筒を導線でつなぐというのは円筒対称性を破ることになりますが,
そこは目をつぶります.
そもそも,無限に長い...続きを読む

Q導体板の電荷密度

2枚の導体板を平行に向かい合わせたとき、負電位の導体からの距離をxとし、その点の電位を
V=V0(x/d)^(4/3)  V0:導体間の電位差、d:板間の間隔
とします。
そのときの板間の空間の電荷密度の求め方がわかりません。

導体表面の電荷密度(C/m^2)を求めて、それをdで割ればいいのだと思って
計算してみたのですが答えと違う値になってしまいます。
どういう風に解けばいいのでしょうか?

Aベストアンサー

No.1です。
No.1の最初に書いた式は微分形のガウスの法則というのですが、積分形のガウスの法則を使うということなのかもしれません。

部屋の床が負極板で、天井が正極板だとします。床に底面積S, 高さxの四角柱を立てます。この四角柱の上面における電場は、E(x) = -(d/dx)V(x) です。
次に、積分形のガウスの法則により四角柱の中の電荷は、Q(x) = S ε。E(x) と求められます。
四角柱を微小高さdx伸ばすと、伸びた四角柱の中の電荷はQ(x+dx)です。したがって、微小体積Sdx(四角柱の上面に貼り付けた薄板)の中の電荷は、Q(h+dh)-Q(h)となります。よって、四角柱上端付近の電荷密度ρは
ρ={Q(x+dx)-Q(x)}/(Sdx) = {(d/dx)Q(x)}/S

QベクトルポテンシャルAと磁束密度Bの関係を微分形、積分形で表すとどのよ

ベクトルポテンシャルAと磁束密度Bの関係を微分形、積分形で表すとどのようになりますか?

Aベストアンサー

電磁気学の教科書をちゃんと見てください。

ベクトルポテンシャルが導入された部分を見ればすぐにわかりますよ。

ヒント:divB=0


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