電磁気学に関する質問

大学の電磁気学に関する質問です。

下記の問題が演習課題に出ましたが、解き方がわかりません。教えてください！

半径がそれぞれ a, b (a＜b) で中心を共有する二つの導体球殻があり、導体球殻の間が抵抗率ρの物質で満たされている．外球殻（半径ｂ）を接地し、内球殻（半径a）には電圧V が加えられている．球殻間の抵抗R と全電流I を求めよ．

(ヒント：中心からの距離をｒとし電流密度、電場の大きさを求める．導電率（伝導率）と抵抗率の関係を用いる)

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2020/07/09 20:18

電流密度iは、総量がI、 通過する球の表面積が4πr^2だから(rは球の半径

i=I/(4πr^2)
iρが電圧勾配だから、中心から距離rの電流密度をi(r)とすると
V=∫[a→b]iρdr=(Iρ/4π)(1/a-1/b)
R=V/I=(ρ/4π)(1/a-1/b)

I=V/R

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2020/07/09 20:02

ヒントがあると、かえって分かりづらいな。

a < r < b の半径 r に対して、微小な厚さの球殻 r～r+dr を考えると、この間の抵抗値は、電流に対して
・表面積が 4パイr^2
・長さが dr
なので
　dR = [ρ/(4パイr^2)]dr

従って、全抵抗は
　R = ∫[a→b][ρ/(4パイr^2)]dr = [ρ/(4パイ)]∫[a→b](1/r^2)dr = [ρ/(4パイ)][-1/r][a→b]
　　= [ρ/(4パイ)][(1/a) - (1/b)]

よって、全電流は
　I = V/R = V/{[ρ/(4パイ)][(1/a) - (1/b)]}
　　= [4パイV/ρ]ab/(b - a)