【iOS版アプリ】不具合のお知らせ

∫a^2 / ( x^2 + a^2 ) ^(3/2)dx を計算できませんでした。
結果は x / (x^2 + a^2)^(1/2) となるのですが、何で置換をしたのかが
分かりません。

ちなみに前の質問は私のミスで投稿してしまいました。

A 回答 (2件)

こんばんは。



考え方としては、
x^2 + a^2 という一つの式をセットとして、
a^2(何かの三角関数^2 + 1)
が簡単になるような三角関数を選択します。

すなわち、
x = atanθ = asinθ/cosθ と置きます・・・

・・・とは言ってはみたものの、私自身、最後まで計算してみないと、その考え方でよいのか自信がないので、計算してみました。


微分公式 (tanθ)’= 1/(cosθ)^2
dx = a・dθ/(cosθ)^2

また、
x^2 + a^2 = (a^2・(tanθ)^2 + a^2)
 = a^2((tanθ)^2 + 1)
 = a^2((sinθ/cosθ)^2 + (cosθ/cosθ)^2)
 = a^2(1/(cosθ)^2)
 = a^2/(cosθ)^2

よって、
与式 = ∫a^2 / ( x^2 + a^2 ) ^(3/2)dx
 = ∫a^2/(a^2/(cosθ)^2)^3/2・a・dθ/(cosθ)^2
 = ∫a^2/(a^3/(cosθ)^3)・a・dθ/(cosθ)^2
 = ∫cosθ・dθ
 = sinθ + C

ここで、sinθ をxを用いて表すには・・・
-------------------------------------
1/(tanθ)^2 = (cosθ)^2/(sinθ)^2
 = (1 - (sinθ)^2)/(sinθ)^2
 = 1/(sinθ)^2 - 1

1/(tanθ)^2 + 1 = 1/(sinθ)^2

よって、
(sinθ)^2 = 1/(1/(tanθ)^2 + 1)

x = atanθ と置いていたので、(tanθ)^2 = (x/a)^2

(sinθ)^2 = 1/{(a/x)^2 + 1}
-------------------------------------

よって、
与式 = 1/{(a/x)^2 + 1}^(1/2) + C

分母と分子にxをかけて
与式 = x/{a^2 + x^2}^(1/2) + C


以上、ご参考になりましたら幸いです。
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「何で」は意味として 2通り取れるんだけどどっちでしょうか:


・x を「何で」置換したのか, という意味なら, この分母の形だと大体お約束として tan.
・「どういう理由で」という意味なら, 「置換したほうが簡単な式になると思える」から.
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