No.2
- 回答日時:
楕円 x^2/a^2+y^2/b^2-1=0 (|x|≦a,|y|≦b)の場合 ,ただし、a>0,b>0
例1)(x,y)=(a cos(t),b sin (t)) (0≦t<2π)
双曲線 x^2/a^2-y^2/b^2-1=0 (x≧a,|y|<∞)の場合,ただし、a>0,b>0
例1)(x,y)=(a cosh(t),b sinh (t)) (|t|<∞)
例2) (x,y)=(a√(1+t^2),bt) (|t|<∞)
双曲線 x^2/a^2-y^2/b^2-1=0 (x≦-a,|y|<∞)の場合,ただし、a>0,b>0
例1)(x,y)=(-a cosh(t),b sinh (t)) (|t|<∞)
例2) (x,y)=(-a√(1+t^2),bt) (|t|<∞)
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
どんなパラメータ表示をするかに非常に強く依存しますが,
恐らく質問者さんが望むような表示を作ることは,一般には不可能です.
大前提として,どんな図形でもパラメータ化することはできます.
(濃度の等しい集合を持ってきて全単射を作ればよいだけです.)
しかしそれでは実用的には意味が無いので,
例えば,滑らかな関数や,有理式・初等関数だけでパラメータ化する,
といったことが(主にCGの分野で)現在でも盛んに研究されています.
(きっと質問者さんが望むのも,こちらだと思います.)
ただし,そのようなパラメータ化を作る問題は非常に難しく,
一般には以下の2つの意味で,現実的には不可能だと言えます:
(1) そもそもパラメータ化できない図形が存在する.
(2) パラメータ化可能だが,具体的な方法が知られていないものが存在する.
もちろん,図形やパラメータ化のクラスの定め方次第で,
簡単に解ける場合もあったりしますが.
ちなみに,質問者さんの例は簡単にパラメータ化できる例です.
つまり,方程式を陽に解いてやって,文字を置き換えた
x(s,t) = as√(1 - t^2/b^2)
y(s,t) = t
は,初等関数によるパラメータ化の1つです(ただし s ∈ {-1,1},t ∈ [-b,b]).
また,それは2次曲線なので,三角関数などを使ったパラメータ化の自動導出も可能ですが,
パターンマッチング的なことをするので,特に説明するものでもありません.
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