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(x,y)^Tは2行1列の列ベクトルとします.
R(θ)=((cosθ,sinθ)^T,(-sinθ,cosθ)^T):原点まわりのθ回転行列
(x,y)がx^2/a^2+y^2/b^2=1上の点を原点まわりにθ回転した点ならそれを原点まわりに-θ回転した点
(★)(u,v)^T=R(-θ)(x,y)^T
はもとの楕円の方程式を満たすはず.
(☆)u^2/a^2+v^2/b^2=1
だから,掲載の式のθは-θでないといけないと思います.以下はそうであるとしましょう.(しかし結果は同じ結果が得られます)
☆により
u=acost,v=bsint
とおけます.★により
(x,y)^T=R(θ)(u,v)^T
=R(θ)(acost,bsint)^T
x=acosθcost+bsinθsint
y=bcosθsint-asinθcost
変数tに関して合成すると,
x=√(a^2cos^2θ+b^2sin^2θ)cos(t-α),(cosα=acosθ/√,sinα=bsinθ/√,√はxのcos(t-α)の係数)
y=√(b^2cos^2θ+a^2sin^2θ)sin(t-β),(cosβ=bcosθ/√,sinβ=asinθ/√,√はxのcos(t-β)の係数)
となります.tは自由に動くので,
-√(a^2cos^2θ+b^2sin^2θ)≦x≦√(a^2cos^2θ+b^2sin^2θ)
-√(b^2cos^2θ+a^2sin^2θ)≦y≦√(b^2cos^2θ+a^2sin^2θ)
この上限,下限が最大値,最小値です.
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