∫(∞～-∞ ）dx/(x^4+4) の積分のやり方を教えて欲しいです。 途中の計算の解説があるとと

∫(∞～-∞ ）dx/(x^4+4)
の積分のやり方を教えて欲しいです。
途中の計算の解説があるととてもありがたいです。
よろしくお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/07/24 07:23

x⁴+4=(x²+2)²-(2x)²=(x²+2+2x)(x²+2-2x)

　1/(x⁴+4)=1/(x²+2+2x)(x²+2-2x)
　　=(1/8){(x+2)/(x²+2+2x) - (x-2)/(x²+2-2x)}
　　=(1/16){(2x+4)/(x²+2+2x) - (2x-4)/(x²+2-2x)}
　　=(1/16){(2x+2)/(x²+2+2x)+2/(x²+2+2x)
　　　　 - (2x-2)/(x²+2-2x) + 2/(x²+2-2x)}

　　=(1/16){(2x+2)/(x²+2+2x)+2/((x+1)²+1)
　　　　 - (2x-2)/(x²+2-2x) + 2/((x-1)²+1)}

　∫dx/(x⁴+4)
　=(1/16)∫{ (2x+2)/(x²+2+2x) +2/((x+1)²+1)
　　　　　　　 - (2x-2)/(x²+2-2x) + 2/((x-1)²+1) } dx
　=(1/16){ log(x²+2+2x) + 2tan⁻¹(x+1)
　　　　　　- log(x²+2+2x) + 2tan⁻¹(x-1) }
　=(1/16){ log(x²+2+2x)/(x²+2-2x) + 2tan⁻¹(x+1) + 2tan⁻¹(x-1) }

上記で x → ∞　とすると (1/16)(0+2・2π/2)=π/8
　　　x → -∞　とすると (1/16)(0-2・2π/2)=-π/8
したがって、積分は、この差なので
　∫dx/(x⁴+4)=π/4

ここで x → ±∞　のとき
　 log(x²+2+2x)/(x²+2-2x) → log 1=0
　tan⁻¹(x±1) → ±π/2
となることを使った。

この回答へのお礼

とても分かりやすいです！ありがとうございます。

お礼日時：2022/07/26 21:18

No.2 回答者： springside 回答日時： 2022/07/24 07:10

分母を(x²±2x+2)に因数分解して、部分分数分解すれば、あとは定番の計算。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/07/24 04:45

部分分数にばらしてそれぞれ積分.