統計学の問題です。

fn(x) を自由度 n のカイ 2 乗分布の確率密度関数とする。このとき、∫ ∞から
−∞ fn(x)dx = 1 を示せ。という問題の解き方が分かりません。普通に積分すればよいものだと思って計算していたら躓きました。詳しく計算過程を知りたいです。

No.1 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/07/28 06:00

x≧0

fn(x)=(1/{2^(n/2)Γ(n/2)})x^{(n/2)-1}e^{-x/2}
Γ(n/2)=∫_{0～∞}t^{(n/2)-1}e^{-t}dt

t=x/2
2t=x
2dt=dx

x^{(n/2)-1}
=(2t)^{(n/2)-1}
=2^{(n/2)-1}t^{(n/2)-1}

∫_{0～∞}fn(x)dx
=∫_{0～∞}(1/{2^(n/2)Γ(n/2)})x^{(n/2)-1}e^{-x/2}dx
=(1/{2^(n/2)Γ(n/2)})∫_{0～∞}x^{(n/2)-1}e^{-x/2}dx
=(1/{2^(n/2)Γ(n/2)})∫_{0～∞}2^{(n/2)-1}t^{(n/2)-1}e^{-t}2dt
=(1/{2^(n/2)Γ(n/2)})∫_{0～∞}2^{(n/2)}t^{(n/2)-1}e^{-t}dt
=(2^{(n/2)}/{2^(n/2)Γ(n/2)})∫_{0～∞}t^{(n/2)-1}e^{-t}dt
=(1/Γ(n/2))∫_{0～∞}t^{(n/2)-1}e^{-t}dt
=(1/Γ(n/2))Γ(n/2)
=Γ(n/2)/Γ(n/2)
=1

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2023/07/28 10:20

カイ2乗分布の確率密度関数fnは、

(A)「定義域が 0≦ x < ∞ 」
と考えても
(B)「定義域が -∞ < x < ∞ で、x≦0 ならば　f(x) = 0」
と考えてもいい。

　しかしこの問題の場合には、ちょっと事情が違う。
　(A)の解釈だと「fnの定義域を-∞ < x< 0にまで拡張したものについて、定積分がどうなるか」と問われているとしか考えようがない。そして、その「fnの定義域を-∞ < x< 0にまで拡張したもの」はすでに「カイ2乗分布の確率密度関数」そのものではない。
　だから(B)の解釈しかありえんわけです。

　さて「確率密度関数」の定義から、確率密度関数fnの定義域をXとすると
　　(i) x∈X ⇒ fn(x)≧0
　　(ii) ∫_X fn(x) dx = 1
である。
　だから計算するまでもなく、fnが(B)の定義域を持つ「確率密度関数」である以上は
　　 ∫_X fn(x) dx = ∫{-∞〜∞} fn(x) dx
でなくてはならない。