添付した画像の積分の途中計算が分かりません。どなたかご教授下さい。答えはN！/a^(N +1)になる

添付した画像の積分の途中計算が分かりません。どなたかご教授下さい。答えはN！/a^(N +1)になるそうです。
丁寧に計算途中を示して下さると有り難いです。

No.3 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2024/03/07 19:17

ガンマ関数は

　　Γ(x) = ∫{0〜∞} (t^(x-1))exp(-t) dt
と定義される関数。x≠0のとき、' をtによる微分のことだとして
　　Γ(x) =∫{0〜∞} ((t^x)/x)' exp(-t) dt
　　= -∫{0〜∞} ((t^x)/x)(exp(-t))' dt （∵ t→∞で(t^x)exp(-t)→0）
　　= (1/x)∫{0〜∞} ((t^x)/x)exp(-t) dt
　　= Γ(x+1)/x
と部分積分すれば、
　　Γ(x+1) = xΓ(x)
だとわかる。
　そして、
　　Γ(1) = 1
なので、nが0より大きい整数のとき
　　Γ(n+1) = n!
であることは（丁寧にやれば数学的帰納法を使って証明するわけだが）おわかりになるでしょう。

　以上を使うと、さて、ご質問の式を
　　t = αV
と変数変換（置換積分）すれば（α≠0かつNが0より大きい整数なら）お書きの答に至る、というところは、もうできるんじゃ？

No.2 回答者： syotao 回答日時： 2024/03/07 16:23

aV=ｘとおいて変数変換すればその積分は

＝[1/a^(N +1)]Γ(N+1)、Γ()はガンマ関数　になり
Γ(N+1)＝N!　だからその結果になります。

No.1 回答者： himagene 回答日時： 2024/03/07 11:32

変形すればガンマ関数の定義式になります。

その先は、ガンマ関数の性質あるいは公式集をお読みください。