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大学の重積分の問題です。

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  • 質問者：kokorere
  • 質問日時：
  • 回答数：2件

こんにちは。また知恵を貸していただきたく、質問いたします。

∮∮D（|x|+|y|）dxdy　D：|x|+|y|≦1

の積分の値はいくつでしょうか?

絶対値をどのように処理するのかわかりません…。

範囲的には菱形？の左右対称になると思うのですが、どうでしょうか。


よろしくお願いします。

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「eの積分」に関するQ&A： eの積分

A 回答 (2件)

No.2ベストアンサー

  • 回答者： info22_
  • 回答日時：

>∮∮D（|x|+|y|）dxdy　D：|x|+|y|≦1


「∮」の記号は閉じた積分路に沿った周回積分（閉路積分）の場合に使います。今回の積分は該当しませんので
普通の積分記号「∫」を使ってください。

V=∫_D（|x|+|y|)dxdy,　D：{(x,y)| |x|+|y|≦1}

>絶対値をどのように処理するのかわかりません…。
>範囲的には菱形？の左右対称になると思うのですが、どうでしょうか。

被積分関数（|x|+|y|)も積分領域もx軸およびy軸に対称なので

積分領域を　D　→ E:{(x,y)| x+y≦1,x≧1,y≧1}
に変換すれば積分領域Eでは絶対値を外せ、
積分領域Dにおける積分は、積分領域Eにおける積分の4倍になります。

V=4∫_E（x+y)dxdy,　E:{(x,y)| x+y≦1,x≧1,y≧1}
=4∫[0→1]dx∫[0→1-x](x+y)dy
=4∫[0→1]dx [xy+y^2/2][0→1-x]
=4∫[0→1] [x(1-x)+(1-x)^2/2] dx
=4[x^2/2 -x^3/3 -(1-x)^3/6][0→1]
=4(1/2 -1/3 +1/6)
=4/3
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この回答へのお礼

∫と∮とは違うのですね！すいません、次から気をつけます。
丁寧な回答、ありがとうございました。

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お礼日時：2013/01/20 11:37

No.1

  • 回答者： Tacosan
  • 回答日時：

対称性を使って絶対値を外す.

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重積分 解答を教えて下さい。

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正解かわかりません。どなたか回答お願いします。

1 ∬D xy dxdy (D={(x,y)∈R^2｜0≦x≦1,0≦y≦1})

2 ∬D (|x|+|y|)dydx (D={(x,y)∈R^2 |x|+|y|≦1})

3 ∬D (x^2+y^2)e^(x^2+y^2)^2 dydx (D={(x,y)∈R^2|x^2+y^2≦1})

4 ∬D xy/x^2+y^2 dydx (D={(x,y)∈R^2|y≧x,1≦x^2+y^2≦2})


1 普通に計算して1/4

2 4通りの場合分けをする→原点に対称なひし形ができる。
絶対値の場合分けがよくわからなかったのですが単純に４倍して答えは４

3 極座標変換して ヤコビアンr DはE; 0≦r≦1 , 0≦θ≦2πにうつる
θから積分して計算すると 2π*1/4(e^4-1) となり 答えは π/2*(e^4-1)

4 極座標変換して ヤコビアンr DはE; 1≦r≦√2, π/4≦θ≦5/4πにうつる
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1 普通に計算して1/4

2 4通りの場合分けをする→原点に対称なひし形ができる。
絶対値の場合分けがよくわからなかったのですが単純に４倍して答えは４

3 極座標変換して ヤコビア...続きを読む

Aベストアンサー

1
>普通に計算して1/4
合っています。

[計算]
I=∫[0,1] ydy∫[0,1] xdx
={∫[0,1] xdx}^2
={[x^2/2][0,1]}^2
=(1/2)^2=1/4

2
>原点に対称なひし形ができる。
正確には一辺√2の正方形で、原点の周りに45°回転した正方形です。

>絶対値の場合分けがよくわからなかったのですが単純に４倍して答えは４
間違い。
答えは 4/3

絶対値の外し方は以下の計算のように外します。

[計算]
I=∬D (|x|+|y|)dydx
=∬D |x|dydx+∬D |y|dydx
Dと被積分関数がy=xに対称なので第一項と第二項の積分は等しいから
I=∬D |x|dydx+∬D |x|dxdy
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D'={(x,y)∈R^2| x+|y|≦1,x≧0} として
I=4∬D' xdydx
=4∫[0,1]xdx∫[x-1,1-x] dy
=8∫[0,1]x(1-x)dx
=8[x^2/2-x^3/3][0,1]
=8(1/2 -1/3)
=4/3

3
>ヤコビアンr DはE; 0≦r≦1 , 0≦θ≦2πにうつる
これは合ってます。

>θから積分して計算すると 2π*1/4(e^4-1) となり 答えは π/2*(e^4-1)
間違い。
答えは　π(e-1)/2

[計算]
x=rcos(t),y=rsin(t)と極座標に変数変換（θはtで置き換えています）
(x^2+y^2)e^((x^2+y^2)^2)dydx
=(r^2)*e^(r^4) rdrdt=(r^3)*e^(r^4) drdt
D　⇒ E={(r,t)|0≦r≦1 , 0≦θ≦2π}

I=∬E (r^3)e^(r^4) drdt
=∫[0,2π] dt∫[0,1](r^3)e^(r^4) dr
=2π[(1/4)e^(r^4)][0,1]
=(π/2)(e-1)
=π(e-1)/2

4
>極座標変換して ヤコビアンr DはE; 1≦r≦√2, π/4≦θ≦5/4πにうつる
代入してrから積分して・・・とすると積分が0になってしまいました。
合ってます。

[計算]
x=rcos(t),y=rsin(t)で極座標に変数変換（θはtで置き換えています）

xy/(x^2+y^2)dydx
=(r^2)sin(t)cos(t)/(r^2) rdrdt=(1/2)sin(2t)rdrdt
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より

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=(1/2)∫[0,2π]sin(2t)dt∫[1,√2] rdr
sin(2t)の基本周期はπなので２周期の範囲についての積分は０になる。
I=(1/2)*0*∫[1,√2] rdr
=0

1
>普通に計算して1/4
合っています。

[計算]
I=∫[0,1] ydy∫[0,1] xdx
={∫[0,1] xdx}^2
={[x^2/2][0,1]}^2
=(1/2)^2=1/4

2
>原点に対称なひし形ができる。
正確には一辺√2の正方形で、原点の周りに45°回転した正方形です。

>絶対値の場合分けがよくわからなかったのですが単純に４倍して答えは４
間違い。
答えは 4/3

絶対値の外し方は以下の計算のように外します。

[計算]
I=∬D (|x|+|y|)dydx
=∬D |x|dydx+∬D |y|dydx
Dと被積分関数がy=xに対称なので第一項と第二項の積分は等しいから
I=∬D |x|dydx+∬D...続きを読む

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Qe^(-x^2)の積分

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ガウス分布に使いますね。
やりかたですね。一般的なものを参考程度までに、

xy座標の第一象限で原点を通る一辺aの正方形
と正方形に接する半径aの（1/4）円とr半径√2aを考えるんですね。
正方形の領域□でe＾-x＾2　をｘ方向に積分すると、
∫[0→a]e＾-x＾2dx
正方形の領域だからe＾-y＾2 をｙ方向に積分しても
同じ値になりますね。だから
∫[0→a]e＾-x＾2dx=∫[0→a]e＾-y＾2dy
ということは、x,yは独立に考えられるので、
∫[0→a]e＾-(x＾2+y＾2)dxdy
={∫[0→a]e＾-x＾2dx}＾2
という関係が出ますね。
だから、e＾-(x＾2）を積分する代わりにe＾-(x＾2+y＾2)を積分してその√を取れば解が得られるという論法を利用するんですね。
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極座標変換して、(x＾2+y＾2)=r＾2, dxdy=rdrdθ
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同様に、半径√2aの(1/4)円では、
=(π/4){1-e＾-(2a＾2)}
だから、
x:0→a
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が回答ですね。これ以上は数値表を参照ですね。
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広域積分でも検索すれば参考になるかも。

ガウス分布に使いますね。
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と正方形に接する半径aの（1/4）円とr半径√2aを考えるんですね。
正方形の領域□でe＾-x＾2　をｘ方向に積分すると、
∫[0→a]e＾-x＾2dx
正方形の領域だからe＾-y＾2 をｙ方向に積分しても
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∫[0→a]e＾-x＾2dx=∫[0→a]e＾-y＾2dy
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Qスキーウエアの下に着るもの、初心者への注意！

友達に誘われて、高校の修学旅行以来ぶりに１０年ちかくぶりに無謀にもスキーに行くことになりました。
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Aベストアンサー

まず、滑るときの服装ですが、理想は
上：ハイネックのシャツ、首が寒くないセーター等
下：足首まであるタイツ、スパッツ
です。特にスキー専門店においてあるものは運動性等も考慮されていますので、良いでしょう。

ただ、そうはいっても一度や二度のスキーに購入するのはもったいないので、
上：なるべく首の部分が隠れるシャツ、そして、同様のトレーナー、スウェット
下：足首部分にファスナー等堅いものの付いていない、トレーナー、スウェット
でも、代用できます。
首の部分にこだわるのは、転んだときに雪が入って来るのを防ぐため、足首部分に堅いものが付いているものを避けるのは、ブーツを履いたときに足に食い込んで痛くなるのを防ぐ意味があります。

また、スキー場の標高や場所・天候によって寒さが変わるので、寒いなと思ったら、少し厚めのものを用意すると良いと思います。

続いて、バスの中ですが、夜行バスは次のような状態です。
１．暖房は効いているが、頭が暑く、足下は寒い。また、窓際が寒い。
２．あまりリクライニングしないシートの場合が多い。
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４．長い間座るので腰が痛い。
５．イスで寝るので、慣れていないと寝付けない、眠りが浅い。

これらを解消するのに、
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２．首を固定する空気枕等を用意する。
３．アイマスクを用意する。
４．途中のドライブインやサービスエリアで止まったとき、目が覚めていれば、一度降りて軽く腰を伸ばしておく。
５．寝酒を用意する。ただし、量を多く飲む人はビールではトイレが近くなって迷惑を掛けるので、日本酒の方がベター。でも飲み過ぎに注意。（笑）
あと、途中で目が覚めたときのために、ヘッドホンステレオなどがあると完璧でしょう。
あると便利な小物は、日焼け止め、使い捨てカメラ、使い捨てカイロ、帽子が脱落するのを防ぐクリップ、煙草を吸う方は携帯灰皿とターボライターがあげられます。

これだけのものを全て用意するのは大変なので、自分が必要だと思うものを選択してください。

まず、滑るときの服装ですが、理想は
上：ハイネックのシャツ、首が寒くないセーター等
下：足首まであるタイツ、スパッツ
です。特にスキー専門店においてあるものは運動性等も考慮されていますので、良いでしょう。

ただ、そうはいっても一度や二度のスキーに購入するのはもったいないので、
上：なるべく首の部分が隠れるシャツ、そして、同様のトレーナー、スウェット
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でも、代用できます。
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　ところが、Mathematicaには関数の最大化を行う関数はありません。まあこの点については最小化を行うFindMinimum関数があるため、正負を反転させた関数-Abs[S[t]]の最小化を行えば目的を達成することはできます。

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Plot[-Abs[S[t]],{t,0,10}]←範囲は適当に変えて下さい
FindMinimum[-Abs[S[t]],{t,t0}]←t0(局所的最適解を求めるための初期点)は適切なものを与えて下さい

　S[t]は複素数関数ということですが、絶対値を取ってAbs[S[t]]とすれば結局は実数関数となるので、あとはこの実数関数を最大化すれば良いわけですね。

　ところが、Mathematicaには関数の最大化を行う関数はありません。まあこの点については最小化を行うFindMinimum関数があるため、正負を反転させた関数-Abs[S[t]]の最小化を行えば目的を達成することはできます。

　しかし、問題はFindMinimumで求められるのは局所的最小解であって、大域的最小解ではないということです（そもそも任意の関数の最小値を...続きを読む

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Q重積分の変数変換がわかりません

今、重積分の勉強をしていて
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「u=x+y,v=y」の置換後、D→E:{(u,v)|u^2+v^2≦1},dxdy=dudv
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基本的な考え方だけ説明します。
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外球に電荷q2が分布するとき、
0＜ｒ＜ｂでE2(r)=0、b＜ｒでE2(r)=(1/4πε)(q2/r^2)
実際の電場は、E(r)=E1(r)+E2(r)

電荷は、内球の外面にq1,外球の内面に-q1,外球の外面にq2分布する。

電位は、
φb=∫[0→∞] E(r)dr=(1/4πε)(q1+q2)/b
φa=φb+∫[a→b] E(r)dr=φb+(q1/4πε)(1/a-1/b)

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Q重分積分の極座標変換について

どうして∬ｄｘｄｙ＝∬ｄｒｄθかけるｒなのでしょうか
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■各座標系の面積素（微小な面積を表す成分要素）dSがどう表されるかを考えて見てください。
直交XY座標では微小な面積素dS=dxdyで表されます。
横幅dx,高さdyの長方形の面積はその積dxdyで表されるので
dS=dxdy
ということです。
一方、極座標系では
半径r方向の微小な長さの幅dr,偏角θ方向（円弧方向）の微小な長さはrdθで表されます。従って極座標(r,θ)における面積素dSの微小な面積は
dS=(dr)×(rdθ)=rdrdθ
となります。
なので
∫dS=∬dxdy=∬rdrdθ
となるのです。

●数式で扱う場合はヤコビ行列を使って座標変換ができます。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%96%A2%E6%95%B0%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F
この中の円座標の所が二次元の極座標のヤコビアン|J|の計算で
|J|=rが出てきますのでこれを使って変数変換
dxdy=|J|drdθ=rdrdθ
をします。
実際の計算は
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から
ヤコビ行列Jを求めて
J=
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(∂y/∂r,∂y/∂θ)
=
(cosθ,-rsinθ)
(sinθ,rcosθ)
これからヤコビアン|J|を求めれば
|J|=
|cosθ,-rsinθ|
|sinθ, rcosθ|
=r(cos^2θ+sin^2θ)=r
となりますので機械的に
dxdy=|J|drdθ=rdrdθ
と変数変換すればいいことになります。

■で考えるか、●で考えるかは自由です。

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■各座標系の面積素（微小な面積を表す成分要素）dSがどう表されるかを考えて見てください。
直交XY座標では微小な面積素dS=dxdyで表されます。
横幅dx,高さdyの長方形の面積はその積dxdyで表されるので
dS=dxdy
ということです。
一方、極座標系では
半径r方向の微小な長さの幅dr,偏角θ方向（円弧方向）の微小な長さはrdθで表されます。従って極座標(r,θ)における面積素dSの微小な面積は
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となります。
なので
∫dS=∬dxdy=∬rdrdθ
となるのです。

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Q平方根を含む重積分

先日も質問させて頂いたのですが、以下のような場合はどのようにして展開するのでしょうか？
∬√(x^2+y^2) dxdy
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積分範囲は上記したものとなり、図にすると正方形になります。円ではありません。
重ね重ね申し訳ありません。。。

Aベストアンサー

先の質問
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/7787140.html
のA#1とA#2の直交座標で積分する方法と極座標変換して積分する方法の解答を回答した者です。
先の質問の10√3をaで置き換えるだけで今回の質問の積分になりますが、真似てできませんか？

とりあえず、先の質問のA#1の解答で10√3をaで置き換えた解答を回答します。

対称性より
　V=∬[D]√(x^2+y^2) dxdy,D={(x , y)| -a≦x≦a , -a≦y≦a, a>0}
　=8∬[D1](x^2+y^2)^(1/2) dxdy,D1={(x , y)| 0≦y≦x≦a, a>0 }
　=8∫[0,a]dx∫[0,x](x^2+y^2)^(1/2) dy (a>0)
y=xtで変数変換して
　=8∫[0,a]　dx ∫[0,1] x(1+t^2)^(1/2) xdt
　=8∫[0,a]　x^2 dx ∫[0,1] (1+t^2)^(1/2) dt
　=8[(1/3)a^3]∫[0,1] (1+t^2)^(1/2) dt
　=(8/3)a^3∫[0,1] (1+t^2)^(1/2) dt ...(★)
ここで
　I=∫(1+t^2)^(1/2) dt
部分積分して
　=t(1+t^2)^(1/2)-∫t(1/2)(2t)(1+t^2)^(-1/2)dt
　=t(1+t^2)^(1/2)-∫t^2/(1+t^2)^(1/2)dt
　=t(1+t^2)^(1/2)-∫ (1+t^2-1)/(1+t^2)^(1/2)dt
　=t(1+t^2)^(1/2) -∫(1+t^2)/(1+t^2)^(1/2)dt+∫1/(1+t^2)^(1/2)dt
　=t(1+t^2)^(1/2) -∫(1+t^2)^(1/2)dt +sinh^-1(t)
　=t(1+t^2)^(1/2) -I +sinh^-1(t)
2I=t(1+t^2)^(1/2) +sinh^-1(t)+2C
I=(1/2)t(1+t^2)^(1/2) +(1/2)sinh^-1(t)+C

(★)の定積分のに代入して
　V=(8/3)a^3 [(1/2)t(1+t^2)^(1/2) +(1/2)sinh^-1(t)][0,1]
　=(4/3)a^3 [√2 +sinh^-1(1)]
公式：sinh^-1(u)=ln(u+√(1+u^2))より
∴V=(4/3)a^3 {√2 +ln(1+√2)}

[注]極座標の場合も「先の質問のA#2の解答の10√3をaで置き換えるだけで」
今回の質問の解答が置き換えで簡単に積分できますのでやってみて下さい。
分からなければ、分からない箇所を質問してください。

先の質問
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/7787140.html
のA#1とA#2の直交座標で積分する方法と極座標変換して積分する方法の解答を回答した者です。
先の質問の10√3をaで置き換えるだけで今回の質問の積分になりますが、真似てできませんか？

とりあえず、先の質問のA#1の解答で10√3をaで置き換えた解答を回答します。

対称性より
　V=∬[D]√(x^2+y^2) dxdy,D={(x , y)| -a≦x≦a , -a≦y≦a, a>0}
　=8∬[D1](x^2+y^2)^(1/2) dxdy,D1={(x , y)| 0≦y≦x≦a, a>0 }
　=8∫[0,a]dx∫[0,x](x^2+y^2)^(1/2) dy (a>0)
y=xtで変数...続きを読む

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