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∫f(x)dxやdx/dtなどとよく使われるdの意味がよくわからなくなってしまいました。例えば∫f(x)dxの場合
は『関数f(x)をxで積分する』で、dx/dtは『x(関数)をtで微分』という意味はわかるのですが、dにはもっと深い意味があるような気がするのです。数学の授業でdx/dtを先生はdxとdtでばらして使ったりしています。本当にそんなことが可能なのでしょうか。先生はdの意味をよく教えてくれないのです。お願いだから誰が教えてください。

A 回答 (7件)

微分とは限りなく小さい範囲のものを考えていく関数の為、


とてつもなく小さいxの範囲の場合はΔx(デルタx)、時間tのとてつもなく小さい範囲はΔtと記載します。

それらを関数の中ではデルタの頭文字dを使い、dxやdtと表しているのです。
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● 私は ANo.#3 #6 で回答した者です。



● 変数x の 関数f(x), 変数y の 関数g(y) として、「 考えられるすべての x 」において 関数f(x) が『 微分可能 』であるとします。そして、「 考えられるすべての y 」において、関数 g(y) が『 微分可能 』であるとします。このとき、「 合成関数 (g・f)(x) = g(f(x)) 」の『 微分係数 (g・f)'(x) 』の表記のしかたについて、私は考察しました。
  よろしかったら、おつきあいください。

● 合成関数 (g・f)(x) の『 微分係数 (g・f)'(x) 』は、教科書などで、次のように導かれます。

  (g・f)'(x) = g'(f(x))・f'(x)   …(12)

  この (12)式 および ANo.#3 (1)式 より、合成関数 (g・f)(x) の『 微分 d(g・f)(x, h) 』は次のように表わされます。

  d(g・f)(x, h) = g'(f(x))・f'(x)・h   …(13)

  (13)式 における h を、ANo.#3 (5)式 に従って、dx(h) と表わして、(13)式 の両辺を dx(h) で割ります。

  d(g・f)(x, h)/dx(h) = g'(f(x))・f'(x)   …(14)

● y = f(x), z = g(y) として、教科書などでは、(14)式 の 左辺 d(g・f)(x, h)/dx(h) を dz/dx と記しています。
  また、教科書などでは、y = f(x), z = g(y) として、

  (dy/dx)・(dz/dy) = dz/dx   …(15)

という約分をにおわせる表記が見られます。この (15)式 を私個人は次のように解釈しました。

  dy/dx = df(x, h)/dx(h)
     = (f'(x)・h)/h

  dz/dy = dg(f(x), df(x, h))/df(x, h)
     = d(g・f)(x, h)/df(x, h)
     = (g'(f(x))・f'(x)・h)/(f'(x)・h)

  dz/dx = d(g・f)(x, h)/dx(h)
     = (g'(f(x))・f'(x)・h)/h

  上記のように解釈すれば、約分が実際に行なうことができます。

● まちがっていたら、ごめんなさい。
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● 私は ANo.#3 で回答した者です。


  微積分の話題から、ひとたび離れますことを、お許しください。

● 集合A から 集合B への 写像S があったとします。そして、p, q が 集合A の任意の要素であるとします。もし

  p = q ならば S(p) = S(q)   …(8)

となります。

● 集合A が「 2変数関数 全体から成る集合のある部分集合 」であるとします。集合B が「『 1変数関数 の集合 』の集合 」であるとします。
  今、集合A から 集合B への 写像S があるとします。p が 集合A の任意の要素であるとします。写像S による p の像を S(p) と表記するのではなく、これから Sp と表記するものとします。

● df(x, h) が 集合A の任意の要素であるとします。そして、写像S が次のように定義されるものとします。

  Sdf(x, h) = f(x)+C      …(9)

  ANo.#3 の (6)式 に着目します。

  df(x, h) = f'(x)・dx(h)    …(6)

  この (6)式 の両辺に上記の 写像S を作用させます。(8) より、

  Sdf(x, h) = Sf'(x)・dx(h)   …(10)

  (9) (10) より、

  Sf'(x)・dx(h) = f(x)+C     …(11)

● S を ∫ と表記しなおしてみてください。上記のように理解すれば、

  df/dx = f'
  df = f'・dx
  ∫df = ∫f'dx
  ∫df = ∫f'dx = f+C

などの式の変形が理解できるのではないでしょうか。

● まちがっていたら、ごめんなさい。
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http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=236331
はいかがでしょうか?

外微分形式をキーワードに検索してみてもよいかもしれません。
※積分が微分の逆だと考えればどちらか一つの意味が明確になれば、もう一方もそれに合わせて考えればよいと思います。
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追伸。

Δxは、dxと同じくdifference xです。もともとは微小変化における元との差をdx、一般(微小とは限らない)の変化での元との差をΔxとしたわけで、元はほぼ同じです。
これは∫f(x)dxも同様なので、元はΣf(x)dxなのですが、「無限の和」なので区別しているだけです。もとはいずれもsum(summma)です。
つまりもともと同じ概念から出ているのですが、無限小という観念の発達の中で数学の中では区別されるようになったので別の記号を作った。そのときラテン文字dやsのかわりにギリシア文字で同等のものをつかっただけのこと。

なおdx単独で使うのに編微分・全微分のところで使うxの全微分dxというのもありますが、ここで疑問に思ってらっしゃるのとは別の話なのでとりあえず横においときましょう。
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●「 関数 f(x) がある範囲で『 微分可能 』である 」とは、「 関数 f(x) がある範囲の任意の 点c において f'(c) という『 微分係数 』を持つ 」ということですよね。



●『 微分可能 』『 微分係数 』という言葉が登場しました。このほかに、『 微分 』という言葉が次のように定義されるのだそうです。

  df(x, h) = f'(x)・h      …(1)

  上記の 2変数関数 df(x, h) が 関数 f(x) の『 微分 』なのだそうです。d と f とは分離することがなく、df が 1つ の記号であるかのように、これから取り扱います。

● ところで、g(x) = x という関数についてこれから記述します。
  関数 g(x) はすべての実数値において『 微分可能 』です。関数 g(x) の『 微分 』は次のようになります。

  dg(x, h) = g'(x)・h      …(2)

  なお、g'(x) は x がどんな値であっても、1 ですから、(2)式 は次のように表わされます。

  dg(x, h) = h         …(3)

  この (3)式より、 関数 dg は 第 1 変数 x に依存しませんから、次のように表わされます。

  dg(h) = h           …(4)

  (4)式 の g を x と表記を改めます (※) と、

  dx(h) = h           …(5)

● (5)式 を (1)式 に代入します。

  df(x, h) = f'(x)・dx(h)    …(6)
  df(x, h)/dx(h) = f'(x)    …(7)

  (7)式 をごらんになったところで、koun さん がかかえる疑問は解消されますでしょうか。
  (※) の部分がわかりにくいところかもしれません。なぜ、表記を改めることができるのかについて、私はくわしく知りません。もしかしたら「 g(x) = x の左辺は、g(x) と表記したところで、x 以外の何者でもない 」からかもしれません。

● 重要なところは、「 df は 2つ の 変数 x, h の関数であること 」「 dx は 変数 h の関数で、dx(h) = h であること 」ではないでしょうか。

● まちがっていたら、ごめんなさい。
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dはdifferencial(微分)のdですが、もともとの語源はdifference(差)であると思います。



もともとニュートンやライプニッツによって考え出されたときは、微分は微小変化を表すものとされていました。xがわずかな変化をしたとき、それにともなってyもわずかな変化をする。当時考えられていたところではこの微小変化がdxなどで、これに対してdyは、
dy=Σa(k)*(dx)^k
という形の級数になるとされていました。ただしdxが小さな数のとき(dx)^2や(dx)^3などははるかに小さいので無視すると、a(1)さえわかればいいわけです。これがつまりdx/dyなんで、本来dxもdyもそういうものでした。そして、dy/dxもれっきとした商でした。(微分商といわれていました)

ところが結局この考え方に収まりきらない関数がいくつも発見され、また物理などのように実際の数値を扱う場合は誤差の範囲であっていれば問題はないのですが、数学では論理的に矛盾の無い考え方が重要で、その点でこの説明では雑に過ぎるわけでした。

こうして19世紀に一応論理的に矛盾の無い体系が作られますが、さらに20世紀には数の概念を拡張して、dxだけ、というものもちゃんとした意味を持つことが保障されました。(超準解析)

そういうわけでこのことを踏まえてのことならば数学的にも問題はありません。

もっとも高校程度の関数についてはニュートンおよびライプニッツ時代の「荒っぽい」説明でも特に問題はなく、理科の内容ではそのような表記を多用しています。
数学の場合もほんとは少々問題ありなのですが、問題が鮮明になるのは大学数学を学んでからなので、とりあえず「そういう扱いをしても問題がおきない範囲の関数を学んでいるので、この範囲ではこういうやりかたも有効」と観じておくのがよいでしょう。
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