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高校の先生から、微分(導関数)の記号:dy/dx は、1つの記号であって、
分数のように分母・分子に切り離してはいけないと教わりました。
しかし、逆関数での微分では、dy/dx を 1/(dx/dy)にしたり、積分するとき
の記号では、最後に dx をつけ、あたかも分母だけをつけた形にしています。

初めの dy/dx は、「dy は分子、dx は分母」と素直に考えたほうが
いいのではないでしょうか?

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A 回答 (10件)

>私は、このことは重要なことだと思います。


がえらく心に響いたので、蛇足というかナメクジに足のような回答です。

数学では同じ働きをするものは同じとみなします。
5個のりんごと5個のみかんでは数という意味で同じとみてしまえ!
というぐあいにです。
ですから、kbannaiさんが同じと思うのであれば同じと一度置いてみればいいのではないでしょうか?
それで分数の計算の性質をすべて満たすならば、
それは分数と同じように扱ってもまったくかまわないわけです。

というわけで
df/dx ± dg/dx = (df±dg)/dx
(df±dg)はどうしましょうか?
普通に考えると(df±dg)=d(f±g)としたいですよね。意味は
微分の加減算は加減算の微分といったところでしょうか?
実際これは正しい結果を与えます。
では分母が違う場合は?
df/dx ± dg/dy = (dfdy±dgdx)/(dxdy)
うーんこれはちょっとまずそうですね。
掛け算はどうでしょうか?
df/dx ・ dg/dx = (df・dg)/(dx・dx)
これもちょっと(左辺は数の掛け算ですが右辺は
なにやら極限操作のようなことをやっていますが意味が不明です)。
でも、
df/dy・ dy/dx =df/dx
ならOKです(通分できるならただしいようだ)。

という具合に一概に”本当の分数”とおいてはだめなことがわかります。
でも、いくつかの性質は本当の数のように見えますよね。
その性質はなにか? df +dg=d(f+g) だったり、df/dy・ dy/dx =df/dx
だったりです。df +dg=d(f+g) は、dxに関係なく(つまり下がdyだろうがdzだろうが
、しかも、xがどこの値のときでもお構いなしに成り立つ性質なので)
df、dgだけ数と見なせば都合が良いように見えます(ついでに定数を掛けても大丈夫です)。
一方、df/dy・ dy/dx =df/dxは変数をxからyに変換するような操作が割り算
(普通の数のようにできる)ことを示しています。
そこで、上のdf、dgと形を合わせてdf=(df/dx)dxやdf=(df/dg)dgという具合に表記すれば
df、dgを加減算のなかで数とあつかって、必要とあれば、ほかの変数にうつりあえるという、
えらく便利な「数」ができるわけです。
あとは、siegmundさんがおっしゃっているような、積分での変換の関係をうまく満たすように工夫
(ってちょっと面倒ですが)すれば、微積分に便利な「数」ができます。

という具合に、思ったことは試してみればよいのではないでしょうか?
自然科学や数学のよいとろこは、本人がどう思ったとしても、
それが間違いであればおのずとその間違いを正してくれることだと思います。
ですから、どんどん「思う」ことが大切なのではないでしょうか?
そして、思って試せば、その先が見えてくるのだと思います。
>私は、このことは重要なことだと思います。
というところに感銘したのはこういう理由です。

とまあ、恥ずかしげもなく書きたいこと書いていますが許してください。
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> …私としては、(極限操作が背景にあることはいつでも頭に入れておいて)


> 初めから独立な量として習ってもよいと思いますが。

もっと進んだ段階では dx,dy を独立な量として扱うなら,
最初からそのように教えてもよいのではないか.
まったくおっしゃるとおりですが,高校の教科書にはいろいろ縛りがあるので,
そういう風な教科書は検定に通らないんじゃないですかね(自信なし).
また,数学は高校の段階でもう終わりでそれ以上進んだ段階には行かない人も
大勢います.
実際,大学で文系に進むとあんまり数学やらないでしょう.
また,どこかでつまづいてしまって,
微分は微かに分かる,積分は分かった積もり(昔からあるシャレです),
なんていうこともあるわけです.
そういうあたりを考えると,「分数ではないよ」と教えるのが無難なんでしょうかね.

> でも、2重積分では、安易に分母分子のように扱っていると間違いになるよう
> ですね.
そうです.
例えば,x,y から2次元の極座標 r,θに変換するとして
(1)  x = r cosθ
(2)  y = r sinθ
ですが,
(3)  dx dy = (dx/dr) (dy/dθ) dr dθ
と思って
(4)  dx/dr = cosθ
(5)  dy/dθ = r cosθ
を使うと
(6)  dx dy = r cos^2θ dr dθ
になります.
一方,
(3')  dx dy = (dx/dθ) (dy/dr) dr dθ
としても良さそうで,こうして
(4')  dx/dθ = -r sinθ
(5')  dy/dr = sinθ
とすると
(6')  dx dy = - r sin^2θ dr dθ
になってしまいます.
あれ(6)(6')が同じにならないよ,というわけで,
どうも重積分の時にあまり無神経にやるとまずそうだということは想像できます.

まあ,大体2変数ですから,dx/dr という書き方では困るわけで,
偏微分記号で ∂x/∂r と書かないといけません.
dx と∂x だから約分はまずいのではないかというようなことも言えますね.
偏微分に対して∂の記号を使うことによって,
記号的にも上のような議論はまずいということが形式的に表されていると
見ることもできるかも知れません.

多重積分の変数変換はいわゆるヤコビアンで表現できます.
ヤコビアンについては,KaitoTVGAMEKOZOU さんご紹介の
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=120492
で stomachman さんが触れておられます.
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chukanshi さんの言われるとおりですので,少し蛇足を.



もともと微分係数は Δy/Δx の Δx→0 の極限でしたから,
もとの分数の形を残して dy/dx とライプニッツは書いたのでしょう.

高校では dx や dy は独立の量ではないと教えるのが普通ですが,
もう少し上のレベルになると dx や dy は独立の量として扱います.
そういう意味では,質問の
> 「dy は分子、dx は分母」
が復活したとも言えます.
ただし,極限操作が背景にあることはいつでも頭に入れておかなければなりません.

本来,「微分」とは dx や dy のことを言います.
微小変化分(微小増分)ということでしょう.
dy/dx は導関数,微分係数,微分商,などと言うのが本来の名前です.

y=f(x) の dx と dy の関係を dx の1次までで近似して
dy = A dx と書いたときの A がちょうど f'(x) になっていて
(1)  dy = f'(x) dx
の両辺を dx で割ったものが
(2)  dy/dx = f'(x)
です.
(1)はテーラー展開の第1項と見ることもできます.

こういうあたりが,chukanshi さんの言われるライプニッツの記号の威力です.

積分ももともとは
(3)  Σ {j=1~N} f(x_j) Δx,   Δx = (b-a)/N
の N→∞ の極限でしたから,積分に移行するときにΔx のところを
dx と書いて
(4)  ∫{a~b} f(x) dx
と書いているのです.

ニュートンの記号では dx に相当するものがありませんでした.
ライプニッツの記号ですと,dx のところを (dx/dt)dt と書き直して
置換積分の形がすぐ出てきます.

ただし,やはり限界はあるわけで余り無神経にやっていると間違った結果を
引き起こします.
例えば,2次元の積分で
(5)  ∬ g(x,y) dx dy
の変数を r,θに変換するときに
(6)  dx dy = (dx/dr) (dy/dθ) dr dθ
とやってしまってはいけません
割り算というなら(6)は良さそうですけれどね
(6)の間違いは理工系の大学1年生くらいではよく目にします.
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この回答へのお礼

ありがとうございました。
高校レベルでは dy、dx を独立な量としてでは扱わなく、大学レベルでは
独立な量として扱うんですね。
…私としては、(極限操作が背景にあることはいつでも頭に入れておいて)
初めから独立な量として習ってもよいと思いますが。

高校では 、dy/dx の読み方が「ディーワイ・ディーエックス」ということ
を教わっただけで、「分数ではない」ということの詳しい説明はありません
でした。

とにかく、ライプニッツの表記法は便利な書き方だということがわかりました。
でも、2重積分では、安易に分母分子のように扱っていると間違いになるよう
ですね。

お礼日時:2002/03/17 09:28

chukanshiさんのいわれているとおりですので、蛇足になりますが…


dy/dxは(d/dx)yとも書けます。すなわちyに「微分演算子」を作用させたもの
という見方です。
いずれにせよ、あくまで1個の記号であって、極限で定義された「作用」の結果です。
それと、積分の記号∫dxも1個の記号であって、dy/dxの分母だけつけた、というものではないので注意してください。
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例えば、y=x+cと言う式があったとします。


cを定数として、xとは、任意に変わる変数
(表現が間違っているかもしれませんが)で、yは、xの関数です。
それなので、xが変わればyも変わります。
微分とは微小な変化をみるので、xを微小に動かす時(dxと表記)、
yも微小に動く(dy)と私は考えてました。

そして、y=x+z+cと言う式があったとします。
xもzも任意に変わる変数だとします。そして、yは、x、zの関数です。
そのときにdy/dxと書くと、
zは、無視して(本来は無視できなかったと思いますが、、忘れました。)
xが微小に動く時のyの変化を見ます。

それなので、そう言う表記として見て、
分数とはちょっと違うものと考えた方がいいと思いますよ。
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>「xの微分」の考えを使えばdx=g'(t)dtとやることに抵抗はなくなると思います。


4で「Δx≒g'(t)Δt」とやりましたがこの式はΔxの近似式である。
「g'(t)Δt」をdxであらわし、これを「xの微分」という。
dx=g'(t)Δt……(1)
とくにx=g(t)=tのときを考え、(1)に代入すると、
dt=1*Δtになり、(1)に代入して、
dx=g'(t)dtを得る。……☆

とありますが、(1)からは、こうしてもよい。
dx=g'(t)Δt……(1)
ところで、tの微分はそれ自身だから、
Δt=dt …(2)
よって、
dx=g'(t)dtを得る。……☆
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ずいぶん前に、これに近い質問がありましたので、載せておきます。

回答の方で「微分」の解説をしているので、参考にしてください。

参考URL:http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=120492
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この回答へのお礼

ありがとうございました。早速、読んでみました。

こちらの説明では、すでに、dyとdxをそれぞれ1つの量として扱っています。
たぶん、大学レベルのご説明だと思います。

高校レベルでは、どう解釈すればよいのでしょうか。
「意味としては分数ではないのだけれど、扱い方は分数でよい」ということなので、私としては不思議な存在に思えるのですが、、、

お礼日時:2002/03/17 09:09

No2の回答で


dy(x^2) = 2x dx

d (x^2) = 2x dx
の誤りです。
すみません。
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この回答へのお礼

はい、わかりました。

お礼日時:2002/03/17 08:49

直接の答えではないかもしれませんが、


私の今手元にある微分積分の本にこのような記述があります。


関数 y = f(x) のテイラー展開で、 n=2 とすると、h が十分小さい値ならば…
《中略》
増分Δx に対する関数 y = f(x) の増分Δy の主要部分は
 Δy = f(x+Δx)-f(x) ≒ f'(x)Δx
で与えられる。この主要部分を
 dy = f'(x)Δx
と書き、関数 y = f(x) の微分という。関数f(x) = x については f'(x) = 1 であるから
dx = Δx
である。したがって微分 dy は
dy = f'(x)dx
と表される。たとえば
 dy(x^2) = 2x dx, d log x = dx / x, d tan^-1 x = dx / (x^2+1)
である。
≪引用ここまで≫

もうしわけございませんが、私には意味がわからないので解説できません。
ご質問と関係あるのかどうかもわかりません。
(引用するにあたって、分数の横棒を / で表したり、累乗を ^ で表したりしています。また tan^-1 というのは、アークタンジェントというものらしいです。)
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この回答へのお礼

 dy = f'(x) dx

と表記した段階で、dy/dx を分母・分子と考えていると思いますが、
どうなんでしょう。

お礼日時:2002/03/17 08:54

微分の記号dy/dxは、ライプニッツが考えた記号です。

それはどうでも良いことですが。なぜ、「dy は分子、dx は分母」と考えていけないか。
それは、微分や積分が「極限」の操作を含んでおり、dxやdyは「極限」の操作の意味を含んだ記号であって、ただの数ではないからです。
例えば、微分の定義を考えてみましょう。
lim(h→0)(f(x+h)-f(x))/h
でしたね。これを記号で書くと、df/dxとなります。明らかにlim(h→0)という極限の操作を含んでいますね。ですから、dxなどは、ただの数ではないので、分数の分子や分母と思ってはいけないです。
数学者からの立場からは、そういうことになります。

ただ、表現法からいうと、微分の記号をdy/dxなどとして、いかにも分数の計算をするように演算が表面上できるようになったのは、まさにライプニッツの直感による
この表記法に依存するところが大きいのです。ですから、本当は分数ではないのですが、「分数のような気分」で計算できるのです。ライプニッツは表記法の天才ですね。表記法ひとつで「分数の気分」で計算できるようになったのです。

同時に微分を発明したニュートンはxの微分をxの上に点(・)をつけることによって表現しました。これは随分計算がしにくいですね。

つまり、微分、積分は「極限」があってはじめて定義され、その「極限」の操作の部分の意味がdxやdyに含まれているため、dxなどをただの数として扱ってはならず、dy/dxはひとつの記号で、分数ではないのです。でも、この表記のおかげで、
「分数の気分」で計算はできるのです。

体裁や外面は分数ではないけれど、ノリは分数というところでしょうか。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。

ホントは分数ではないけど、ライプニッツさんが考えた表記法
を使うと、分数の気分で(便利に)扱えるということですね。

私は、このことは重要なことだと思います。
しかし、教科書には書かれていないので、誤解していました。

お礼日時:2002/03/17 08:13

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Qdxやdyの本当の意味は?

宜しくお願いします。

昔、高校で
dy/dyの記号を習いました。これは分数ではなくて一塊の記号なのだと習いました。
が、微分方程式ではdyとdxをばらばらにして解を求めたりします。
「両辺をdy倍して…」等々、、、
また、積分の置換積分では約分したりもしますよね。

結局、dy/dxは一塊ではないんですか??やはり分数なのですか?
(何だか高校の数学では騙されてたような気がしてきました)
一塊の記号でないのなら分数っぽい記号ではなくもっと気の利いた記号にすればいい
のにとも思ったりします。

実際の所、
dxの定義は何なんですか?
dyの定義は何なのですか?
本当はdxとdyはばらばらにできるのですか?

どなたかご教示いただけましたら幸いでございます。

Aベストアンサー

数的に定義するというのが、いわゆる微分形式というもののことで、完全に代数的にこれらを定義することができます。ただ、定義しただけでは普通の微分とどう関係があるのか分かりにくく、その辺りは大学の2回生程度の数学になります。

dxというのは微分形式の立場からいうと、xという(座標)関数の全微分のこと、つまりd(x)のことです。dという記号はここでは全微分を表す記号だと思ってください。別の座標yを取ったとき、yの全微分をd(y)と書きます。現実には、座標といったときは曲がった座標を取るよりは、普通のまっすぐなユークリッドの座標xを基準に取ることがほとんどです。そういうわけで、微分形式(特に1次の微分形式)はdxを基準に取ることが普通です。もちろんdyも1次の微分形式と呼ばれます。なにやら難しそうだけれども、dxや、dyといったものは、座標関数の全微分を表すものなんだ、ということで、単独で定義できるものだということは理解しておいて欲しいと思います。

さて、ふたつの座標x、yには通常ある種の関数関係があることがほとんどです。たとえばy=log xなど。これはグラフのイメージでいうと、普通のグラフを対数グラフにした、というイメージです。あるいは、中学高校でよくやっているのは(もちろん意識してませんが)、x軸かy軸を適当に尺度を変えてやるという変換、y=axというのもよくやります。さて、このときyの全微分をxの全微分で表せないか?ということを考えます。それが次の式です。大学では多変数バージョンを普通やります。

y=f(x)とyがxの関数でかけているとき、yの全微分d(y)はxの全微分d(x)を用いて、
d(y)=f'(x)d(x)
と表される。

これは微積分でやる置換積分の公式(チェイン・ルール)と呼ばれるものそのものです。代数的取り扱いに慣れているのならば、微分形式を抽象的な階数付交代代数と思うことができて、上で表されるチェイン・ルールが成り立つもの、と定義してもよいかと思います。いずれにせよ、微分形式の立場からいうと、d(x)やd(y)は単独に定義できる諸量です。

その意味では、dy/dxという記号は二つの意味に解釈できます。すなわちyというxの関数をxで微分した、という単なる記号だと思う方法(もちろんそれはy=f(x)であるときは、f'(x)を指すわけです)、ただし(d/dx)yと書くほうが望ましい。もうひとつは、微分形式dyとdxの変換則とみる(つまりdyとdxの比だと思う)という方法です。これはdy=f'(x)dxなのだから、dyはdxに比例定数f'(x)で比例している、と思うのだ、というわけです。分数の表記は形式的な意味しか持ちません。ですが、この両方の解釈をよくよく考えてみると、dy/dxは本当に分数のように扱うことが出来ることも意味しています。むしろそうできるように微分形式(dyとかdxとか)の記号を作ったと思うほうがよいでしょう。もう一度かくと、(d/dx)y=dy/dxなのだ、ということです。左が微分記号だと思う立場、右が微分形式の比だと思う立場。いずれも同じ関数f'(x)になっているのです。学習が進めば進むほど、この記号のすごさが理解できると思います。うまく出来すぎていると感嘆するほどです。

微分記号と思うという立場にたったとき、なぜd/dxと書くのか、あるいは積分記号になぜdxがつくのか、ということは高校レベルの数学では理解することはできません。もともとたとえばニュートンなんかが微分を考えたときは、d/dxなどという記号は使わず、単に点(ドット)を関数の上につけて微分を表していたりしました。そういう意味では、現在の微分記号のあり方というのは、単に微分するという記号を超えて、より深遠な意味を持っているとてもすごい記号なのだといえます。

なお蛇足ですが、1次の微分形式は、関数xの微小増加量(の1次近似)とみなすことができて、その意味で、無限小量という解釈も出来ます。物理などでよく使われる考え方です。またこれは大学3年レベルだと思いますが、微分形式を積分したりします。実はそれが高校でも現れる、∫(なんとかかんとか)dxというやつなのです。

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dxというのは微分形式の立場からいうと、xという(座標)関数の全微分のこと、つまりd(x)のことです。dという記号はここでは全微分を表す記号だと思ってください。別の座標yを取ったとき、yの全微分をd(y)と書きます。現実には、座標といったときは曲がった座標を取るよりは、...続きを読む

Q微分のdx/dtというような表記の仕方がいまいち良くわかりません

記号の意味そのものは良くわかるのですが…
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dy/dt×dt/dx=dy/dxのような?感じです
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数学が苦手なので基礎的な部分から教えてください

Aベストアンサー

こんばんは。

dy/dx は、ある瞬間(xの微小変化)における、
xの変化量に対するyの変化量の割合です。

たとえば、y = x^2 という関数のグラフを例に取りますと、


xがaからa+2に変化するときの、xの変化に対するyの変化の割合
 = (y(a+2)-y(a))/(a+2 - a)
 = ((a+2)^2 - a^2)/(a+2 - a)
 = (4a + 4)/2
 = 2a + 2


xの変化の幅を1つ減らせば、

xがaからa+1に変化するときの、xの変化に対するyの変化の割合
 = (y(a+1)-y(a))/(a+1 - a)
 = ((a+1)^2 - a^2)/(a+1 - a)
 = 2a + 1


では、xの変化をさらに1つ減らした場合を考えます。
それは、xをaからaに変化させるということです。
aがいかなる値であっても、y=x^2のグラフには、たしかに傾きがありますが、
傾きというのは、変化の割合と同じです。
ですから、答えがあるはずです。
そこで、上記と同じく、x=a における変化の割合を求めるとすると、どうなるかと言えば、
(y(a)-y(a))/(a-a) = 0/0 (=不定)
という、わけのわからない結果となってしまいます。
しかし、グラフの傾きも、変化の割合も存在するはずです。

そこで、非常に小さい変化量を、dをつけた記号で表すことを考えます。

xの変化は、 a → a+dx
yの変化は、 y(a) → y(a+dx)

xの変化量は、dx ( = a+dx - a)
yの変化量は、dy = y(a+dx) - y(a)
です。


x=aにおける、xの変化に対するyの変化の割合
 =(y(a+dx)-y(a))/(a+dx - a)
 = ((a+dx)^2 - a^2)/(a+dx - a)
 = (2adx + (dx)^2 )/dx
とすることができます。

分子に(dx)^2 がありますが、
dx自体が非常に小さい量ですので、(dx)^2 は、全く無視してよい量となります。
よって、
x=aにおける、xの変化に対するyの変化の割合
 = (2adx + (dx)^2 )/dx
 = 2adx/dx
 = 2a
となります。

これで、x=a のときの dy/dx は、 2a と表せることがわかりました。

ということは、いかなるxの値についても、
dy/dx = 2x
であるということです。

以上のことで、
・x^2 を微分したら 2x になること
・dy/dx は、xの変化に対するyの変化の割合
の意味がおわかりになったと思います。


そして、
たとえば、y、t、x の3変数があって、
ある地点において、
tの変化量のxの変化量に対する割合が4で、
yの変化量のtの変化量に対する割合が3だとしましょう。
すると、xが1変化するのに対してyは12変化します。
dt/dx = 4
dy/dt = 3
dy/dx = 12 = 3 × 4 = dy/dt・dt/dx


なお、
高次導関数の表記については、単なる約束事だと思っておけばよいです。
素直に書けば、
1回微分は、dy/dx
2回微分は、d(dy/dx)/dx
3回微分は、d(d(dy/dx)/dx)/dx
ということになりますが、これでは見にくいので。


以上、ご参考になりましたら幸いです。

こんばんは。

dy/dx は、ある瞬間(xの微小変化)における、
xの変化量に対するyの変化量の割合です。

たとえば、y = x^2 という関数のグラフを例に取りますと、


xがaからa+2に変化するときの、xの変化に対するyの変化の割合
 = (y(a+2)-y(a))/(a+2 - a)
 = ((a+2)^2 - a^2)/(a+2 - a)
 = (4a + 4)/2
 = 2a + 2


xの変化の幅を1つ減らせば、

xがaからa+1に変化するときの、xの変...続きを読む

Q微積分 dの意味

∫f(x)dxやdx/dtなどとよく使われるdの意味がよくわからなくなってしまいました。例えば∫f(x)dxの場合
は『関数f(x)をxで積分する』で、dx/dtは『x(関数)をtで微分』という意味はわかるのですが、dにはもっと深い意味があるような気がするのです。数学の授業でdx/dtを先生はdxとdtでばらして使ったりしています。本当にそんなことが可能なのでしょうか。先生はdの意味をよく教えてくれないのです。お願いだから誰が教えてください。

Aベストアンサー

微分とは限りなく小さい範囲のものを考えていく関数の為、
とてつもなく小さいxの範囲の場合はΔx(デルタx)、時間tのとてつもなく小さい範囲はΔtと記載します。

それらを関数の中ではデルタの頭文字dを使い、dxやdtと表しているのです。

Q積分計算のdtとdxの違いがわかりません。

積分計算のdtとdxの違いがわかりません。
おはようございます。今日もよろしくお願いします。

積分の式を立てて、よく書き忘れてしまい、
前の問題の分も今、dtを書き足していたのですが、
問題集の解答を見てみると、dxになってました。
もしかして、自分がずっと間違えて覚えていたのでしょうか?
それとも、どっちでもいいのでしょうか?
何か決まりがあってdxや、dtに変わるのでしょうか?
教えてください

Aベストアンサー

まぁ、他回答にもありますが、

dtはtについて積分しろ!

dxはxについて積分しろ!

って事だけです。問題を解くときに、何について積分するのか考えて解きましょう。
決まりです。決めてあるだけです。嫌なら、解答の冒頭で「dtを”積分するのはtについてです”と表記する。」としても、本当は正解のはずです。
頭の悪い教師なら×にしますが。

でも、dtの方が楽ですよね。だから、dtという表記が普及したんのです。世界各地で、積分については色んな表記があったと記憶しています。当然日本でも微積分は発明されました。日本では当然、日本語表記です。

でも∫とd(多分definiteの略)だけで、表すのが一番シンプルで分かりやすいからこれが普及したんじゃないですかね。∫の上と下に積分範囲を書くという直感的に分かりやすい記法ですし。

ほんとは、数学なんて解ければいいんですよ。でも、今使われている数学の表記は長年の歴史で洗練されているから使いやすいのはお墨付きって事です。後、自己流の表記を導入すると論文書くときにいちいちその表記の定義を説明しなくちゃならなくて、読む方も読みづらいと思う。下手するとそこで落とされるんじゃんじゃないですかね。数学の論文は書いたことないから分からないけど。

これからも、色んな疑問を投げかけて数学を好きになってください。

まぁ、他回答にもありますが、

dtはtについて積分しろ!

dxはxについて積分しろ!

って事だけです。問題を解くときに、何について積分するのか考えて解きましょう。
決まりです。決めてあるだけです。嫌なら、解答の冒頭で「dtを”積分するのはtについてです”と表記する。」としても、本当は正解のはずです。
頭の悪い教師なら×にしますが。

でも、dtの方が楽ですよね。だから、dtという表記が普及したんのです。世界各地で、積分については色んな表記があったと記憶しています。当然日本でも微積分は発明され...続きを読む

Q両辺を違う文字で積分すること、について (★ゝω・)ノ

加速度の定義式 a= dv / dt を変形して dv = a*dt とし、両辺を不定積分することによって
v= a*t + C が導かれる。

同様に、速度の定義式 v = dx / dt を変形してから、両辺を不定積分することによって x= vo*t + 1/2*(a*t^2) + C' が導かれる。

との記述がありました。
 
わたくしは、理系大学に入ろうかと独学している人間です…が、
「両辺を異なる文字で積分すること」「分母?の dt を移項できること」など、
よく分かりません…。
 
要は、「d」が出てきたら、「極限」を考えているのだから!

という理由で、上記2つの疑問は解決すると見なせるのでしょうか?
移項する場合、dt は「数」扱いなのですか?

あと、これはオマケですが、そもそも「両辺を積分しよう」という発想自体どこから…。
常に積分したくなってくるんじゃあないでしょうか…

こういったことを気軽に独学できる書籍はありますか?
それとも大学受験のためだけの勉強をしている人間は、
さらっと流すところなのでしょうか?

m(__)m よろしくお願いします。独学、発狂寸前ですぅ…。


下記にも同じ質問がありましたが、答えにはなっていないような…
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1195038146

加速度の定義式 a= dv / dt を変形して dv = a*dt とし、両辺を不定積分することによって
v= a*t + C が導かれる。

同様に、速度の定義式 v = dx / dt を変形してから、両辺を不定積分することによって x= vo*t + 1/2*(a*t^2) + C' が導かれる。

との記述がありました。
 
わたくしは、理系大学に入ろうかと独学している人間です…が、
「両辺を異なる文字で積分すること」「分母?の dt を移項できること」など、
よく分かりません…。
 
要は、「d」が出てきたら、「極限」を考えているのだから...続きを読む

Aベストアンサー

これは数学の問題です。
数学の極限、微分積分を学んで下さい。
物理は理論の一般化を数学を使って行っているに過ぎません。

a=dv/dt

a はvの微小変化をtの微小変化で割った値に等しい、と言う意味ですから。
vの微小変化dvはaとtの微小変化dtの積に等しいのは当たりまえですね。
単なる数式の変形です。

dv=a*dt なら
その左辺のvに関する総和と右辺のtに関する総和も等しくなります。
総和の極限が積分ですから、左辺のvに関する積分は右辺のtに関する積分は当然等しい。
独学も結構ですが、物理を学ぶには数学に習熟しておくことが必要です。
勉強の順番を間違えてませんか?

Q置換積分について

「置換積分法を微少量の和の極限として説明できる」、
というようなコトを聞きましたが、それはどうやるのでしょうか?

Aベストアンサー

∫f(x)dx 積分範囲はaからbまでとする。

まず区間a≦x≦bをn個の小区間に分割し、各小区間の代表値を定める。
a=x0,b=xnとして、xk-1とxkの間Δxkの代表値を ξkとして次の和を計算する。
f(ξ1)Δx1+…+f(ξK)ΔxK+…+f(ξn)Δxn

n
Σf(ξK)ΔxK……(1)である
K=1

各小区間の幅を0に近づけていったとき(n→∞)の(1)の極限値が
定積分∫f(x)dxである。
ここでx=g(t)によるa≦x≦bとg^-1(a)≦t≦g^-1(b)(逆関数です)
との間の1対1対応を用いて、区間a≦x≦bの分割及び、代表値に対応する、区間g^-1(a)≦t≦g^-1(b)の分割及び代表値を定める。

ξK=g(tk)とすると、x-tグラフより、
Δxk≒g'(tk)Δtk
であることから、(1)は次のように書き換えられる。

n`````````n
Σf(ξk)Δxk=Σf(g(tk))g'(tk)Δtk……(2)
K=1```````k=1

a≦x≦bの分割における各小区間Δxkを0に近づいていけば、
g^-1(a)≦t≦g^-1(b)の分割における各小区間の幅Δtkも0にちかづいていく。このとき(2)は

∫f(g(t))g'(t)dt に近づいていく 。{ 積分範囲はg^-1(a)≦t≦g^-1(b)}。結局、

n ```````` n
Σf(ξk)Δxk≒Σf(g(tk))g'(tk)Δtk
K=1```````k=1
↓ `` ```` ↓

∫f(x)dx= ∫f(g(t))g'(t)dt
(積分範囲aからbまで) {積分範囲はg^-1(a)≦t≦g^-1(b)}

となる。
多少````が気になるかと思いますが、これは位置を調整しているだけなので無視してよいです。

∫f(x)dx 積分範囲はaからbまでとする。

まず区間a≦x≦bをn個の小区間に分割し、各小区間の代表値を定める。
a=x0,b=xnとして、xk-1とxkの間Δxkの代表値を ξkとして次の和を計算する。
f(ξ1)Δx1+…+f(ξK)ΔxK+…+f(ξn)Δxn

n
Σf(ξK)ΔxK……(1)である
K=1

各小区間の幅を0に近づけていったとき(n→∞)の(1)の極限値が
定積分∫f(x)dxである。
ここでx=g(t)によるa≦x≦bとg^-1(a)≦t≦g^-1(b)(逆関数です)
との間の1対1対応を用いて、区間...続きを読む

Qdy/dxの求め方が分かりません。

(x^3) - 3(x^2)y + (y^3) = 0

上記の式(陰関数)から、dy/dxを求める問題が分かりません。

どうかご教授お願いします。

Aベストアンサー

積の微分、合成関数の微分は、大丈夫ですよね?
万が一怪しい場合も考えて、項ごとに、微分してみます。

x^3をxで微分するのは、普通にやればいいので、(x^3)' = 3(x^2)、

(x^2)yをxで微分するのは、積の微分・(f*g)' = f'*g + f*g' を使って、
{(x^2)y}' = (x^2)'*y + (x^2)*y' = 2xy + (x^2)(dy/dx)、

(y^3)をxで微分するのは、yがxの関数の場合は
(でなければ、定数ということで、微分は0になる)
合成関数の微分・((y^3)をyで微分したもの)*(yをxで微分したもの)を使って、
(y^3)' = 3(y^2)*y' = 3(y^2)(dy/dx)

なので、
(x^3)-3(x^2)y+(y^3)=0の両辺をxで微分すると、
3(x^2) - 6xy - 3(x^2)(dy/dx) + 3(y^2)(dy/dx) = 0
(x^2) - 2xy - (x^2)(dy/dx) + (y^2)(dy/dx) = 0
(x^2 - 2xy) - (x^2 - y^2)(dy/dx) = 0
(x^2 - 2xy) = (x^2 - y^2)(dy/dx)
よって、dy/dx = (x^2-2xy)/(x^2-y^2)

積の微分、合成関数の微分は、大丈夫ですよね?
万が一怪しい場合も考えて、項ごとに、微分してみます。

x^3をxで微分するのは、普通にやればいいので、(x^3)' = 3(x^2)、

(x^2)yをxで微分するのは、積の微分・(f*g)' = f'*g + f*g' を使って、
{(x^2)y}' = (x^2)'*y + (x^2)*y' = 2xy + (x^2)(dy/dx)、

(y^3)をxで微分するのは、yがxの関数の場合は
(でなければ、定数ということで、微分は0になる)
合成関数の微分・((y^3)をyで微分したもの)*(yをxで微分したもの)を使って、
(y^3)' = 3(y^2)*y' = 3(y^2)(dy/...続きを読む

Q偏微分の記号∂の読み方について教えてください。

偏微分の記号∂(partial derivative symbol)にはいろいろな読み方があるようです。
(英語)
curly d, rounded d, curved d, partial, der
正統には∂u/∂x で「partial derivative of u with respect to x」なのかもしれません。
(日本語)
ラウンドディー、ラウンドデルタ、ラウンド、デル、パーシャル、ルンド
MS-IMEはデルで変換します。JIS文字コードでの名前は「デル、ラウンドディー」です。

そこで、次のようなことを教えてください。
(1)分野ごと(数学、物理学、経済学、工学など)の読み方の違い
(2)上記のうち、こんな読み方をするとバカにされる、あるいはキザと思われる読み方
(3)初心者に教えるときのお勧めの読み方
(4)他の読み方、あるいはニックネーム

Aベストアンサー

こんちには。電気・電子工学系です。

(1)
工学系の私は,式の中では「デル」,単独では「ラウンドデルタ」と呼んでいます。あとは地道に「偏微分記号」ですか(^^;
その他「ラウンドディー」「パーシャル」までは聞いたことがあります。この辺りは物理・数学系っぽいですね。
申し訳ありませんが,あとは寡聞にして知りません。

(3)
初心者へのお勧めとは,なかなかに難問ですが,ひと通り教えておいて,式の中では「デル」を読むのが無難かと思います。

(4)
私はちょっと知りません。ごめんなさい。ニックネームは,あったら私も教えて欲しいです。

(2)
専門家に向かって「デル」はちょっと危険な香りがします。
キザになってしまうかどうかは,質問者さんのパーソナリティにかかっているでしょう(^^

*すいません。質問の順番入れ替えました。オチなんで。

では(∂∂)/

Q微分記号(dy/dx)について質問です。

微分記号(dy/dx)について質問です。

例えば、

dy/dx=x

という微分方程式を考えます。

両辺をxで積分すると、

∫(dy/dx)dx = ∫x dx ・・・(1)

となって

∫dy=∫x dx ・・・(2)

y = (1/2)x^2 + C (Cは積分定数)となります。

ここで質問です。(1)から(2)へ変形するときどうして、(dy/dx)dx = dx 、とできるのでしょうか?

dy/dx は、分数じゃなくて記号だと習ったのに、あたかも普通の数字や文字であるかのように計算(約分)できるのはどうしてですか?形式的にしか理解していないのでその計算の意味を教えてください。

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

∫(dy/dx)dx = ∫dy
は、(右辺→左辺と見れば)置換積分の公式そのものです。


>あたかも普通の数字や文字であるかのように計算(約分)できるのはどうしてですか?
ライプニッツという頭のいい人が、微分・積分の上手い表記法を編み出したからです。習ったとおり、「dy/dx は、分数じゃなくてあくまで記号」です。
とは言ったものの、実際、見かけ上、分数みたいに計算してたいていうまく行きます。高校段階ではなんとなくうまく行くとしか説明しようがありません。大学に行けばdy/dxではなくて、dx、dyといった単体の記号の意味をもう少し深く勉強することになります。

Q式の読み方を教えて下さい

 皆さまこんにちわ

 以下の式や記号の読み方が分からないので教えて下さい。範囲は微分の所(導関数)です。


 (1) 「 lim(h→0) f(x+h)-f(x)/h 」

   この式は何と読めばいいのでしょうか?
  たとえば、f(x+h)」は「エフカッコエックスプラスイチ」ですか?
それとも「エフエックスプラスイチ」ですか?


 (2) 微分のところに出てくるもので
   「 dy/dx 」

これは「ディーワイディーエックス」ですか?
  それとも「ディーエックスぶんのディーワイ」ですか?

 申し訳ありませんが早めに知りたいので、分かる方は至急教えて下さい。m(_ _)m

Aベストアンサー

hiro0217さん、こんにちは。
私が読んでいた読み方ですが・・

>(1) 「 lim(h→0) f(x+h)-f(x)/h 」

   この式は何と読めばいいのでしょうか?
  たとえば、f(x+h)」は「エフカッコエックスプラスイチ」ですか?
それとも「エフエックスプラスイチ」ですか?

「エフカッコエックスプラスエイチ」です。hはエイチです。

「エフエックスプラスエイチ」だとf(x) + h
となってしまいます。


>(2) 微分のところに出てくるもので
   「 dy/dx 」

これは「ディーワイディーエックス」ですか?
  それとも「ディーエックスぶんのディーワイ」ですか?

「ディーエックス分のディーワイ」と読んでいました。


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