両辺を違う文字で積分すること、について (★ゝω･)ﾉ

加速度の定義式　a= dv / dt を変形して dv = a*dt とし、両辺を不定積分することによって
v= a*t + C が導かれる。

同様に、速度の定義式 v = dx / dt を変形してから、両辺を不定積分することによって x= vo*t + 1/2*(a*t^2) + C' が導かれる。

との記述がありました。
　
わたくしは、理系大学に入ろうかと独学している人間です…が、
「両辺を異なる文字で積分すること」「分母？の dt を移項できること」など、
よく分かりません…。
　
要は、「d」が出てきたら、「極限」を考えているのだから！

という理由で、上記２つの疑問は解決すると見なせるのでしょうか？
移項する場合、dt は「数」扱いなのですか？

あと、これはオマケですが、そもそも「両辺を積分しよう」という発想自体どこから…。
常に積分したくなってくるんじゃあないでしょうか…

こういったことを気軽に独学できる書籍はありますか？
それとも大学受験のためだけの勉強をしている人間は、
さらっと流すところなのでしょうか？

m(__)m　よろしくお願いします。独学、発狂寸前ですぅ…。


下記にも同じ質問がありましたが、答えにはなっていないような…
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question …

質問者からの補足コメント

• 

  「加速度の定義式　a= dv / dt を変形して dv = a dt とし、
  　両辺を不定積分することによって
  　　∫ dv = ∫ a dt
  　加速度は一定だから a を外に出し、左辺はv 右辺は at + C となる。
  　よって、v= a*t + C が導かれる。」
  
  とあります。
  まず、一行目の、dv = a dt の　「a dt」 というのは、
  「a × dt 」の意味である。というのは間違いありませんか…？
  
  数学は、白チャートや長岡亮介さんの書籍で基礎積みしていたのですが
  よくわからなかったので、物理から攻めていたのです…。

    補足日時：2016/03/24 10:02

• 

  高校と大学の架け橋みたいな、邦訳本があればワクワク嬉しいのですが…。
  高校レベルの無機質な計算で、嫌になってしまう自分が何ともクセモノです…。

    補足日時：2016/03/24 17:29

No.3 ベストアンサー 回答者： uen_sap 回答日時： 2016/03/24 10:07

これは数学の問題です。

数学の極限、微分積分を学んで下さい。
物理は理論の一般化を数学を使って行っているに過ぎません。

a=dv/dt

a はvの微小変化をtの微小変化で割った値に等しい、と言う意味ですから。
vの微小変化dvはaとtの微小変化dtの積に等しいのは当たりまえですね。
単なる数式の変形です。

dv=a*dt なら
その左辺のvに関する総和と右辺のtに関する総和も等しくなります。
総和の極限が積分ですから、左辺のvに関する積分は右辺のtに関する積分は当然等しい。
独学も結構ですが、物理を学ぶには数学に習熟しておくことが必要です。
勉強の順番を間違えてませんか？

この回答へのお礼

実に、uen_sapさんがお答え下さっているようなことが
書かれた数学本があればよいのですが、
存じないのです…。(´;ω;｀)
　
なんとなく「当たり前」だと感じられない部分もあります…。

こういうふうに「当たり前なんだよ～」と言って下さる方がいると、
まあ呑み込めなくもないんですが…

お礼日時：2016/03/24 10:19

No.8 回答者： spookyaction 回答日時： 2016/03/25 15:27

数学カテで聞いたら、もっと納得のいく回答がつくかもしれません。

http://oshiete.goo.ne.jp/qa/2170369.html
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/236331.html

この回答へのお礼

ナイスです！　みんな優しい！

お礼日時：2016/03/25 18:11

No.7 回答者： yhr2 回答日時： 2016/03/25 12:13

「高校と大学のかけ橋」になる本を探されているようですが、最近はその手の「もう一度学び直し」とか、「昔習ったことをもう一度おさらい」的な本が結構たくさん出ています。

微分、積分を、物理に応用する「物理数学」の観点で再確認する内容の下記の本は、そこそこに分かりやすかったですよ。（微積分以外に、「ベクトル解析」「複素関数」などが載っています）
「理系なら知っておきたい物理の基本ノート・物理数学編」
http://www.amazon.co.jp/%E3%82%AB%E3%83%A9%E3%83 …

読んでいませんが、類似のこんな本も。
http://www.amazon.co.jp/%E5%9B%B3%E8%A7%A3%E5%85 …

また、よく分からない物理数学の概念を「直観的」に説明した下記の本は、読んでみる価値があると思います。
「物理数学の直感的方法」（ブルーバックス）
http://www.amazon.co.jp/%E6%9C%AC-%E7%89%A9%E7%9 …

この回答へのお礼

ナイスですぅ！…ああ、もっと早くみなさんに出会いたかった…。
　
ううむぅ。レベルが合ってないと死にますからね…慎重に選ばなくては…( ´艸｀)

お礼日時：2016/03/25 18:17

No.6 回答者： uen_sap 回答日時： 2016/03/25 10:51

本を探されているようですが、高校の教科書を買うのが一番です。

この回答へのお礼

なるほどぅ。
白チャート以前の事が書かれているんですかね？
白チャートがスタートラインかな、と、わたくし勝手に思っていました！

お礼日時：2016/03/25 18:20

No.5 回答者： spookyaction 回答日時： 2016/03/24 14:58

右辺と左辺を間違えたんで訂正。

”そして、Σを取っている(Δt)iは、Δtをさらに細かく分割したものです。左辺の(Δv)iも同じことをΔvに対してしています。”

ついでだからちょっと説明すると、非常に小さいΔtとΔv（極限ではなく非常につ小さいtとvの変位）を考えると、
a =~ Δv/Δt (極限ではないので、あくまでもほぼ等しいということで、イコールではない）

ΔvとΔtはある小さい「数」なので、単純にa*Δt =~ Δvという変形ができる。

Δtをさらに細分化してやってそれらの和と考えると、Δt = Σ(Δt)i。
同じことをΔvに対しても行う。
そうすると、a*Δt =~ Δvは、
a*Σ(Δt)i =~ Σ(Δv)i
となる。

Δがきわめて小さい（極限）とすれば、Σ(Δt)iは時間で積分するのと等価（細かい短冊を足していけば結局積分になるわけだから）で、Σ(Δv)iは速度で積分するのと等価。
よって、
∫dv = a*∫dt
とできる。



> 両辺を積分しよう」という発想自体どこから

式の中に微分が入っているので（つまり微分方程式）、微分を取っ払おうとすればまず積分しようとするのが自然な考えだと思います。それが積分をする発想。

この回答へのお礼

「=~」　は approximately の意味ですね。

>１２番目の回答のΔW…

「環」なんて知りまへん…
ちょっと大学の数学に触れたいような
気分になってきますね！

お礼日時：2016/03/25 12:38

No.4 回答者： spookyaction 回答日時： 2016/03/24 14:12

疑問はよくわかるよ。

なぜ、極限なのに普通に掛けたり割ったりできるのか、そのうえで、なぜ両辺と異なる変数で積分できるのか。厳密に証明しようとしたら高校数学の範疇ではなくなるような気がする。

英語で読む気ある？
１０番目の回答が簡易に証明しているので、それだけでも読んでみては？
あと、１２番目の回答のΔWがでてくるあたりも参考になると思います。
https://www.physicsforums.com/threads/dv-dt-must …
まずミソは、dtではなくΔtとして、極限ではなくきわめて小さい値として扱っている点。
そして、Σを取っている(Δt)iは、Δtをさらに細かく分割したものです。右辺の(Δv)iも同じことをΔvに対してしています。

この回答へのお礼

英語が好きなのでワクワクしましたが、Riemann integral については多分、
お手上げかな…という感じですぅ。( ´艸｀)
高校と大学の架け橋みたいな邦訳本があれば嬉しいのですが…。

さて読んでいきますと…　
If the ( Δ v ) i (Δv)i are small, ...の下りは、
いきなりの誤植でしょうか ∫の t と v が違うんじゃないですか？？？

とにかくとにかく、
dt と Δt の違いなんて知りませんでした…それだけでも大収穫です！

お礼日時：2016/03/24 17:26

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2016/03/24 09:25

ん? ちょっと待て.

加速度は速度を時間で微分すればいいから, 加速度を a, 速度を v, 時間を t とおけば
a = dv/dt
と書ける. それはいい. でも, 本来この a は t の関数だから「不定積分」して v= a*t + C というのは乱暴すぎる. 何か前提が必要だぞ.

さておき.

「a = dv/dt から dv = a dt を積分して～」というのは, いろいろと説明することができる. ただ, どうにも引っかかるというなら
a = dv/dt の両辺を t で積分して ∫a dt = ∫(dv/dt)dt = ∫dv
(後ろの = は置換積分による) と考えるのがシンプルかもしれん.

この回答へのお礼

全然分かりません…(´;ω;｀)
でも置換積分を学ぶ気になりましたぁ！！感謝！

お礼日時：2016/03/24 10:21

No.1 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2016/03/24 08:44

a=(d/dt)v

ですので、両辺をｔで不定積分することによって、
at+C=v
となります。

物理をやる前に、数学の微分積分をきっちりやったほうが良いと思います。

この回答へのお礼

数学は、白チャートや長岡亮介さんの書籍で基礎積みしていたのですが、
「意味」が全くわからなかったので…嫌になりつつ物理に走り、迷走しておりました…。

…前途多難ですぅ…(´;ω;｀)

お礼日時：2016/03/24 10:26