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ネピア数e=lim[n→∞](1+1/n)^nを利用して2<e<3となることを示せ、という問題なんですがどうすればよいのでしょうか?

gooドクター

A 回答 (3件)

(1+1/n)^nは単調増加であり、n=1のとき2だから、2<eである。


また、二項展開により、
(1+1/n)^n=1+1+1/2(1-1/n)+1/3!(1-1/n)(1-2/n)+…1/n!(1-1/n)…(1-(1-n)/n)
<1+1+1/2!+1/3!+…+1/n!
と上から押えられる。
さらに、各項の分母k!=1・2・3・4…kの3以降の部分を3にして、
(1+1/n)^n<1+1+1/2+1/2・3+1/2・3^2+1/2・3^3+…+1/2・3^(n-2)
=2+1/2(1+1/3+1/3^2+1/3^3+…+1/3^(n-2))
=2+1/2(1-1/3^(n-1))/(1-1/3)
=2+3/4(1-1/3^(n-1))
<2+3/4
=2.75
となって3より小さい2.75で上から押えられる。
実際e=2.73…だからこの範囲には入っている。
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この回答へのお礼

解説も分かりやすくて感謝です。ありがとうございます。

お礼日時:2007/11/24 22:47

 二項展開して考えてみてはいかがでしょうか。



 S(n)=(1+1/n)^n と置きますと、これとS(n+1)を二項展開したものは次のようになります。

  S(n)= 1+1+1/2!*(1-1/n) +1/3!*(1-1/n)(1-2/n)+・・・
  S(n+1)=1+1+1/2!*{1-1/(n+1)}+1/3!*{1-1/(n+1)}{1-2/(n+1)}+・・・

 ここで、対応する各項の括弧内を比較しますと、どの項においてもS(n+1)の方が大きくなっていますので、
  S(n+1)>S(n)
というS(n)が単調増加数列であることが分かります。
 ところで、S(1)=2 であることと合わせて考えますと、
  2=S(1)<S(n) (n>1)
ですので、
  2<lim[n→∞](1+1/n)^n
がいえます。

 次に、3より小さくなることについてですが、上のS(n)を二項展開した式から、次の関係がいえます。
  S(n)= 1+1+1/2!*(1-1/n) +1/3!*(1-1/n)(1-2/n)+・・・
    < 1+1+1/2!+1/3!+・・・+1/n!
 ここで、
  1/n!=1/1*2*3*・・・*n<1/2^(n-1)
という関係がありますので、これを使えばS(n)は
  S(n)< 1 +1+1/2^(2-1)+1/2^(3-1)+・・・+1/2^(n-1)
    = 1 +{1-(1/2)^n}/(1-1/2)
    = 1 +2{1-(1/2)^n}
    = 3 -(1/2)^n
    < 3
となり、3がS(n)の一つの上界であることが示されます。
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この回答へのお礼

こんなにも早く返信をしていただいて、ありがとうございます。二項展開を使うんですね。これで解決できました。

お礼日時:2007/11/24 22:46

e=2.718…でしたね。

間違い。
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