親子におすすめの新型プラネタリウムとは?

ネピア数e=lim[n→∞](1+1/n)^nを利用して2<e<3となることを示せ、という問題なんですがどうすればよいのでしょうか?

A 回答 (3件)

(1+1/n)^nは単調増加であり、n=1のとき2だから、2<eである。


また、二項展開により、
(1+1/n)^n=1+1+1/2(1-1/n)+1/3!(1-1/n)(1-2/n)+…1/n!(1-1/n)…(1-(1-n)/n)
<1+1+1/2!+1/3!+…+1/n!
と上から押えられる。
さらに、各項の分母k!=1・2・3・4…kの3以降の部分を3にして、
(1+1/n)^n<1+1+1/2+1/2・3+1/2・3^2+1/2・3^3+…+1/2・3^(n-2)
=2+1/2(1+1/3+1/3^2+1/3^3+…+1/3^(n-2))
=2+1/2(1-1/3^(n-1))/(1-1/3)
=2+3/4(1-1/3^(n-1))
<2+3/4
=2.75
となって3より小さい2.75で上から押えられる。
実際e=2.73…だからこの範囲には入っている。
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この回答へのお礼

解説も分かりやすくて感謝です。ありがとうございます。

お礼日時:2007/11/24 22:47

 二項展開して考えてみてはいかがでしょうか。



 S(n)=(1+1/n)^n と置きますと、これとS(n+1)を二項展開したものは次のようになります。

  S(n)= 1+1+1/2!*(1-1/n) +1/3!*(1-1/n)(1-2/n)+・・・
  S(n+1)=1+1+1/2!*{1-1/(n+1)}+1/3!*{1-1/(n+1)}{1-2/(n+1)}+・・・

 ここで、対応する各項の括弧内を比較しますと、どの項においてもS(n+1)の方が大きくなっていますので、
  S(n+1)>S(n)
というS(n)が単調増加数列であることが分かります。
 ところで、S(1)=2 であることと合わせて考えますと、
  2=S(1)<S(n) (n>1)
ですので、
  2<lim[n→∞](1+1/n)^n
がいえます。

 次に、3より小さくなることについてですが、上のS(n)を二項展開した式から、次の関係がいえます。
  S(n)= 1+1+1/2!*(1-1/n) +1/3!*(1-1/n)(1-2/n)+・・・
    < 1+1+1/2!+1/3!+・・・+1/n!
 ここで、
  1/n!=1/1*2*3*・・・*n<1/2^(n-1)
という関係がありますので、これを使えばS(n)は
  S(n)< 1 +1+1/2^(2-1)+1/2^(3-1)+・・・+1/2^(n-1)
    = 1 +{1-(1/2)^n}/(1-1/2)
    = 1 +2{1-(1/2)^n}
    = 3 -(1/2)^n
    < 3
となり、3がS(n)の一つの上界であることが示されます。
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この回答へのお礼

こんなにも早く返信をしていただいて、ありがとうございます。二項展開を使うんですね。これで解決できました。

お礼日時:2007/11/24 22:46

e=2.718…でしたね。

間違い。
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2) aがAの元で,Aのいかなる元xに対してもa<xとならない時,aを極大元という。x<aなるAの元が存在しない時,aを極小元という。極大元や極小元は存在しない事も有るし,沢山存在する事もある」

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メビウスの反転公式は、
f(n)=Σ(d|n)g(d)⇔g(n)=Σ(d|n)μ(d)f(n/d)
と、fのgによる式と、gのfによる式が反転できる、というものです。
一般に、f,gの乗法積f*gは、
f*g(n)=Σ(d|n)f(d)g(n/d)
で定義されるので、上のメビウスの反転公式は、乗法積を使えば、
f=g*1⇔g=μ*f(1はすべてのn≧1に対して1(n)=1を満たす関数)
と書けます。
また、乗法積は結合法則((f*g)*h=f*(g*h))を満たします。
ここで、δ(n)=1(n=1のとき)、0(n≧2のとき)
という関数δは、任意の関数fに対して、f*δ=fという関係を満たします。
要するに、δは乗法積に関する単位元です。
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μ*f=g*(1*μ)
となるので、これがgに等しいということは、
1*μ=δ
ということです。
要するに、メビウスの反転公式の核となるのは、1*μ=δです。
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させると、
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1*μ(n)=1+Σμ(pi)+Σμ(pipj)+…+μ(p1…pk)=(1-1)^k=0=δ(n)
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メビウスの反転公式は、
f(n)=Σ(d|n)g(d)⇔g(n)=Σ(d|n)μ(d)f(n/d)
と、fのgによる式と、gのfによる式が反転できる、というものです。
一般に、f,gの乗法積f*gは、
f*g(n)=Σ(d|n)f(d)g(n/d)
で定義されるので、上のメビウスの反転公式は、乗法積を使えば、
f=g*1⇔g=μ*f(1はすべてのn≧1に対して1(n)=1を満たす関数)
と書けます。
また、乗法積は結合法則((f*g)*h=f*(g*h))を満たします。
ここで、δ(n)=1(n=1のとき)、0(n≧2のとき)
という関数δは、任意の関数fに対して、f*δ=fという関係を満たします。
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Qfetch_arrayでのエラー

fetch_arrayでのエラー

はじめまして。初心者ですが、ご教授頂きたいです。
PHP,mysqlでサイトを作っていますが、

while ($row = mysqli_fetch_array(mysql_query($dbc,"SELECT userid FROM user_a")))
{
$data = $row['userid']."member"; //テーブル名
mysqli_query($dbc,"DELETE FROM $data WHERE USERID = 'xxx'");
}

このように書いたところ、

Warning: mysqli_fetch_array() expects parameter 1 to be mysqli_result, boolean given in


とエラーが返ってきてしまいます。
テーブル user_a の中にある "userid" を一つずつ取り出し、
それぞれの userid.member というテーブルに xxx がある行を削除していきたいのが目的です。

ネットで探しても、このエラーに関して解決策が書かれているサイトが見当たらなく
途方に暮れている次第です。

どうかお助けください。宜しくお願い致します。

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$data = $row['userid']."member"; //テーブル名
mysqli_query($dbc,"DELETE FROM $data WHERE USERID = 'xxx'");
}

このように書いたところ、

Warning: mysqli_fetch_array() expects parameter 1 to be mysqli_result, boolean given in


とエラーが返ってきてしまいます。
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>切符を買う時間がなかった、予定を変更して特急に乗ることにした…などの場合、とりあえず特急に飛び乗って車内で切符を買えるでしょうか?



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もしも、満席の場合は自由席特急券になり、車掌の配慮で指定席に空きが出来れば指定席特急券を発券してもらう。


>でも、それならどこの駅から乗ったか分からないですね?

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尚、無断でで乗車していて、特急電車が数駅を通過してから車内検札時に特急券を持たず無断で乗っている場合は、ご指摘のように特急の乗車区間が分からない場合も出てきますので、その場合は車掌の判断で、利用客の申告通りor始発駅や乗換え可能な駅からの乗車と見做される可能性もあります。

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http://eq-g.com/article/exam/exam-hikaku/


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