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数3の数列の極限で、有利化をする問題と有利化をしない問題の違いを教えてほしいです。

なぜオレンジで囲っている式は有利化するのに、青の線を引いている式は有利化しないのですか??

「数3の数列の極限で、有利化をする問題と有」の質問画像

A 回答 (4件)

有理化が使える問題たちは、式中に √∞ - √∞ が登場している。


このままでは、左の √∞ と右の √∞ の ∞ になる部分を
引き算で相殺することができないから、「有理化」の操作で
両方の ∞ を √ の外のむき出しにして、相殺を図る。
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有理化と極限値の計算は直接関係ないからね。


この問題達だと、分母と分子のどちらかが定数に漸近し、もう片方が無限大に
或いは両方が定数に漸近する形を狙ってる。
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有理化という意識はあまり持たないほうが良いです


√nとnとn²はnが大きくなると この順でより早く大きくなります
例えばn=1では
√n=1,n=1,n²=1ですが
n=100では
√n=10,n=100,n²=10000
n=10000では
√n=100,n=10000,n²=100000000というように
大差が開くのです
ゆえに n→∞ではその差は絶大となり
n²に比べればnなんてチリのようなもので無視してかまわない項となってしまいます
同様に nに比べれば √nもチリのように小さく無視で来る項です

ということで、より早く大きくなる項(強い項)を見つけてそれでくくるのです
(1)は
分子は√の中身がnの1乗の項 という式、分母も同様 
ゆえに最も強い項は√n(・・・係数は判断基準に入れない)
したがって√nでくくって
分子=√nx√(2+1/n)
分母=√nx1
ゆえに√nで約分すれば
√(2n+1)/√n={√nx√(2+1/n)}/(√nx1)=√(2+1/n)/1=√(2+1/n)
という考え方です

(2)は分子がn=√n²で √の中身がnの2乗の項
分母も √の中身がnの2乗の項が最強
というのもn=√n²とみれば 
分母=√(n²+2n)+n=√(n²+2n)+√n² だから
分母の2つの√の中を見てn²が2nより強いので
この式で最も強い項は√n²ということになり、これでくくりだしです
すると 
分子=4n=√n²x4
分母=√n²x{√1+(2/n)+√1}
分母分子を√n²で約分して
4n/{√(n²+2n)+n}=(√n²x4)/[√n²x{√1+(2/n)+√1}]=4/{√1+(2/n)+√1} となります
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有理化をする問題:有理化をしないと解けないから。


有理化をしない問題:有理化をしなくても解けるから。

見分け方なんかないので、まず、有理化をしなくても解けないか、と考え、解ければそれでいいし、
解けなければ有理化をしてみればいい。

どちらにしても解けない場合は、有理化とは別の方法(例えば、はさみうちの原理)を使うしかない。
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