(3)の「分母が0以外の値に収束するように分母と分子をnでわる」とありますが、なぜ収束させるのですか

(3)の「分母が0以外の値に収束するように分母と分子をnでわる」とありますが、なぜ収束させるのですか？
また、分母の2n+1に∞を代入して分母を∞
分子のnに∞を代入して分子を∞にして∞÷∞＝1とはなぜ、ならないのですか？

No.8 回答者： finalbento 回答日時： 2022/04/20 18:29

先の回答の追記ですが、∞が数でない事はこう考えればすぐに分かると思います。

まず、∞に1を加えてもやはり∞ですよね。つまり

∞+1=∞

∴1=0

こんなアホな事はあり得ません。

No.7 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/04/20 16:24

nを2n+1で割った商は1/2余りは-1/2だから

n={(2n+1)/2}-(1/2)
↓両辺を2n+1で割ると
n/(2n+1)=(1/2)-(1/{2(2n+1)})
∴
lim_{n→∞}n/(2n+1)=lim_{n→∞}(1/2)-(1/{2(2n+1)})=1/2

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/04/20 08:25

lim[x→a] f(x) = F と lim[x→a] g(x) = G ≠ 0 が収束する時

lim[x→a] f(x)/g(x) も収束して、値は lim[x→a] f(x)/g(x) = F/G.
という定理があり、それを利用しているからです。
たとえば(3)の場合、 f(n) = n, g(n) = 2n+1 と考えてしまうと
lim[x→∞] f(x), lim[x→∞] g(x) が収束しないので
この定理は使えませんが、n で約分して
f(n) = n/n, g(n) = (2n+1)/n と考えると、この定理が使えます。


＞ ∞÷∞＝1とはなぜ、ならないのですか？

∞とは、ひとつの数ではなく、∞なるものの総称です。
∞の中にも、すごく大きい∞とそうでもない∞があるのです。
∞÷∞＝1 とならないことは、
上記の定理を f(x) = x, g(x) = x² と
f(x) = x², g(x) = x にあてはめてみようとすれば
一目瞭然でしょう。

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/04/20 07:07

n/(2n+1) と

1/(2+1/n)
は n≠0なら全く同じ式
なら、分母と分子が収束する式の方が扱いやすい。
というだけ。

nに代入するのはとんでもなく大きな数で
とんでもなく大きくしてゆくと分数が何に近ずいて行くか
を求める。
nはとんでもなく大きいが
無限大じゃ無い。

n→∞やx→0で
nが無限大になったり
xが0になったりはしないことを
覚えておこう。

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/04/20 05:54

n→∞

とすることは
nを∞に近づける事であってn=∞にするのではありません
したがってnに∞を代入してはいけません

2n+1>2n
↓両辺を2(2n+1)で割ると
1/2>n/(2n+1)
↓左右を入れ替えると

n/(2n+1)<1/2

だから
nがどんなに大きな数であってもn/(2n+1)は1/2より小さいのです
だから
n→∞としたときn/(2n+1)は1/2より大きくはなりません

No.3 回答者： finalbento 回答日時： 2022/04/19 23:35

質問の後半ですが、まず∞は数ではありません。

なので「∞を代入」と言う事はそもそもできません。また分母も分子も∞に近付くとしても、数の場合のように「分母と分子を約分して1に」とは限りません。極限が∞/∞の形になるものは「不定形」と呼ばれるものの一種で、極限値は一通りではありません。

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2022/04/19 23:01

n⁰の項(定数項)

と
n¹の項とでは
後者の方がより早く大きくなるので
影響が強い
この手の計算では分子を影響が強い項nでくくる
分母も強い項nでくくる
そしたら、nで分母分子が約分できる
と、捉えておけば良いです

また、例えばn→∞のとき
n²→∞
n³→∞ですが
n³のほうがより早く大きくなるので
n²/n³の極限では
単純に∞/∞ではないのでです
分母が分子よりはるかに大きいので
約分しても1にはなりません
1になるのは分母と分子が完全に等しいときだけだから…
ということで、∞/∞はいくらになるか不明で、不定形です
不定形は式変形してから極限を求めるのがセオリーです

No.1 回答者： mabuterol 回答日時： 2022/04/19 22:38

ならないですね。

∞にも、大きな∞と小さな∞があります。
だって 2n と 3n は、n → ∞の極限において、どちらも∞に発散しますけれども、2n < 3n は常に成り立つでしょう？

同じように、ゼロに収束すると言っても、強い収束と弱い収束があります。

分母も分子も共に∞に発散するとしても、どちらが何倍くらい大きいのか考えないといけません。