数3の極限に関する質問です。写真の(3)において、-1<r<0のときにおいて「分母が0に収束するので

数3の極限に関する質問です。写真の(3)において、-1<r<0のときにおいて「分母が0に収束するので与式は無限大に発散」と考えたのですが、実際には振動するという答えになっています。確かに、分母分子を入れ替えれば振動だなとは理解できるのですが、前述の「」の私の考えのどこが間違っているのかを教えて欲しいです。

No.4 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/02/26 05:36

-1<r<0のとき

lim_{m→∞}{1/r^(2m+1)}=-∞
lim_{m→∞}{1/r^(2m)}=∞
だから
分母が
nが奇数のとき-0
nが偶数のとき+0
に収束するから
与式は
1/-0=-∞
1/+0=∞
と
-∞と∞の間を振動し発散する

この回答へのお礼

この回答が1番しっくりきました。回答ありがとうございました！！

お礼日時：2023/02/26 08:04

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/02/25 22:07

(分子が定数で) 「分母が 0 に収束する」というだけでは, ただ「『絶対値が』 (正の) 無限大に発散する」ということしか意味しない. つまり, 実際の値が

・正の無限大に発散する
・負の無限大に発散する
・振動しつつ絶対値が (正の) 無限大に発散する
のどれであるかを判定できない.

なお「発散」は広義には「収束しない」ことを, 狭義には「定符号かつ絶対値が任意の実数より大きくなりうる」ことを表す. そして, 単に「無限大に発散」としか書かないでおくと「正の無限大に (狭義) 発散」と解釈されても文句はいえない.

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/02/25 21:33

無限大には±も含まれていますから、あなたでOK。

つまり、振動するだけでは、収束か発散かわからず、答えは
間違い。

ただ、採点が不可となったら、不幸な事故と諦めます。安全
をとれば、(1/r)<-1 なので±∞に発散とでもしますか。

No.1 回答者： kairou 回答日時： 2023/02/25 20:55

r<0 のときは n の偶奇で 結果が変わりますね。