関数の極限の証明問題

打ち込むのが大変なので自分の手書き写真で失礼します。

関数の極限を示す問題なのですが、赤い四角で囲った部分が自分では理解出来ませんでした。

一つめの
『　ｌｘ－ aｌ＜１　』について。
＜１の場合は示しましたが、反対に＞１の場合は示さなくて良いのですか？
と言っても、確かにlim(ｘ→ a )なので、ｌｘ－ aｌ＜１は当たり前で、＞１なはずがないとは思いますが…
でもここで、なぜ１という数字を選んだのですか？
特別な理由がありますか？それとも単に「分かりやすいからとりあえず１とした」ですか？

二つめの
『　δ＝min｛１，ε/３a^2 +3lal + 1｝　』について。
δ＝ε/３a^2 +3lal + 1 は理解できましたが、
なぜ　δ＝１　の場合も考慮しなければならないのかが分かりません。


低レベルな質問で申し訳ございません、、どなたか解説くださると幸いです。
画像が見えない際は補足にあげなおします。

質問者からの補足コメント

• 追加で失礼します。
  やっていることは同じかもしれませんが、
  こちらの問題もなぜ最初に
  l x ｰ a l < 3a/4
  としているのかが分かりません。
  テキトウに取ってきた数字ですか？

  
    補足日時：2022/06/30 12:32

• 追加で失礼します。
  やっていることは同じかもしれませんが、
  こちらの問題もなぜ最初に
  l x ｰ a l < 3a/4
  としているのかが分かりません。
  テキトウに取ってきた数字ですか？

  
    補足日時：2022/06/30 12:33

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/07/07 21:28

a>0の時

|x-a|<δ
の時
a-δ<x<a+δ
a-δ<x
√(a-δ)<√x
√(a-δ)+√a<√x+√a
1/(√x+√a)<1/(√(a-δ)+√a)
|x-a|/(√x+√a)<δ/(√(a-δ)+√a)

|√x-√a|<δ/(√(a-δ)+√a)

√(a-δ)=√a/2
とすると
a-δ=a/4

3a/4=δ
だから

|x-a|<3a/4

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/06/30 21:18

εδ論法の構造をちゃんと理解しましょう。

lim[x→a]f(x)=b の定義は、
∀ε>0, ∃δ>0, ∀x, |x - a|<δ ⇒ |f(x) - b|<ε です。
任意の正数 ε が与えれれたとき、それに対応する正数 δ があって、
その ε と δ についてウンヌンカンヌンがなりたつ...
という論理式になっています。
しかも、δ はウンヌンカンヌンの中で「∀x, |x - a|<δ ⇒」という現れ方
をしているので、 そのような δ=δ₁ をひとつみつければ
0<δ₂<δ₁ を満たす δ₂ を好きにとって δ=δ₂ としても
「∃δ>0, ウンヌンカンヌン」は成り立ちます。
この状況の気分を表すために、よく
「十分小さいδをとれば」とかいう言い廻しが使われますね。

δ は lim の定義式が成り立つようなものの一例を見つければ十分で、
どんな δ なら定義式が成り立つかの必要十分条件を見つける必要はない
のです。 だから、１枚めの写真にある
「δ=min｛１，ε/３a^2 +3lal + 1｝ とすれば」という箇所は、
「δ<min｛１，ε/３a^2 +3lal + 1｝ を満たす δ をひとつとれば」
とでもしたほうが、εδ論法の考えに沿っています。
δ<min｛１，ε/３a^2 +3lal + 1} というのは、
δ<１ かつ δ<ε/３a^2 +3lal + 1 ということですよね。
与えられた ε に対して、δ に任意な条件を追加して
その範囲を狭めても εδ論法の内容は変わらないので、
勝手に δ<1 の範囲で考えてもかまわないのです。

その上で、写真の証明になぜ δ<1 の 1 を持ち込んだかといえば、
そうすれば式変形が易しくなるからでしょう。そうしてもよいのだから、
楽なほうがいいよねというわけです。

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/06/30 15:00

命題を証明する手順として

　|√x-√a|<k|x-a|
となる定数 kを求める必要があります。

　|√x-√a|=|x-a|/(√x+√a)
において、kを求めるのだが、√xより小さい定数を求める必要が
あり、x>b となる、bを決めればよい。

ただ、よく読めないが、ここでの議論は a>0 の場合となる。
a=0 の時は別の論理が必要。

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/06/30 12:38

証明すべきは

　∀ε>0, ∃δ>0, |x-a|<δ → |x³-a³|<ε
を示すことです。

したがって、|x-a|<δ を満たせば、δは何でもよいのです。δ≦1
とすると、範囲が狭められて、上のように議論が簡単になる。

なお、概略は、aの近傍の議論ですから、|x-a|が大きい場合は
考えなくてよい、という都合もあります。

|x-a|<δ → |x³-a³|<ε　を導くときに、
　|x-a|<1=δ
　|x-a|<ε/(3a² +3lal + 1) =δ
という２つの条件を使っている。任意のεだけでは
　ε/(3a² +3lal + 1)>1
の場合もあり、議論が成り立たない。