
参考書の解答で下記の最後から2行目の「Aを通る直線のうち、y軸に平行に なる場合を除外する。」とうのが、なぜなのか?また、どうやって除外するものを見つけるのかが、わかりません。どうぞよろしくお願いします。
問題)xy平面上に、2直線 mx-y+2m=0・・・(1)、x+my-2=0・・・(2) がある。
mが全ての実数値をとって変化する時、(1)、(2)の交点Pの描く軌跡を求めよ。
解答)(1)より m(x+2)-y=0 。
(2)より x-2+my = 0
よって(1)は定点(-2,0)、(2)は定点(2,0)を通る直線で、
しかも傾きの関係から、(1)と(2)は常に直交する。
ゆえに、交点Pは、A,Bを直径の両端とする円周上にある。
ところで、直線APの傾きがmであるから、mが全ての実数値をとって変化して行く時
直線APは、Aを中心として1回転する。
ただし、Aを通る直線のうち、y軸に平行になる場合を除外する。
よって、Pは、x^2+y^2=4の周上、ただし(-2,0)を除く。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
(1)は定点A(-2,0)、(2)は定点B(2,0)を通る直線、傾きの積が常に-1だから常に直交、
ということは、その交点Pを考えて角APBは常に直角だから、直径ABの円の円周角が直角になるのに相当して、交点Pの軌跡は直径ABの円周
まではOKという前提で、
mが0から大きくなっていくと、傾きmの直線AP がどんどんAを中心としてy軸と並行になろうとするが、いくら大きくなってもy軸と完璧には並行になれないので、点A まで 交点P がとどかない
実際、点B の座標を式(1),(2)に代入すると m=0 で成立するが、点A の座標を代入すると m が無限大になっても完璧には成立しない
という微妙な話です。mが+∞に近づく、mが-∞に近づく、どちらにせよ y軸とは並行になれない、という説明が飛んでいるだけなのです。
この回答への補足
回答、どうもありがとうございます。確認させて頂きたいことがあります。
直線BPは、式(2)x+my-2=0は、m≠0の時 、y=-x/m+2/mと書けて
点(2,0)を満たすが、直線y=0にはならない(x軸に平行にならない)、その理由は、m→±∞すなわち、「傾き-1/mが0に近づくだけ」という理解でよろしいでしょうか?
お手数をおかけしてしまいますが、どうぞよろしくお願いします。
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