数学の質問です。(直線の方程式についてです) 「k(x＋y-4) ＋ 2x-y＋1 ＝0 は、x＋y

数学の質問です。(直線の方程式についてです)

「k(x＋y-4) ＋ 2x-y＋1 ＝0 は、x＋y-4 と 2x-y＋1 の交点を通る直線を表す」と習いますが、なぜですか？？

k がどんな値でも、x＋y-4 と 2x-y＋1 の交点を通る、というイメージは分かりますが、その交点を通る直線全てを表せる理由が分かりません。(厳密にはx＋y-4 以外ですが)

kをうまく調整することで、どんな傾きの直線も表せる！と言いたいのでしょうが、なぜそう言えるんですかね…？

また、先程触れましたが、"x＋y-4 以外の直線" ということですよね？確かに一見、x＋y-4 は有り得ないように見えますが、kをうまく調整することによって、x＋y-4を表すとかないんですかね？

質問内容をまとめると、まず、k(x＋y-4) ＋ 2x-y＋1 ＝0 が、x＋y-4 と 2x-y＋1 の交点を通る直線"全て"を表す のはなぜか。

また、x＋y-4 だけは絶対に表さないと断言できるのはなぜか。

ということです。

よろしくお願いします。長文失礼しました。

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/04/30 22:21

＞ k がどんな値でも、x＋y-4 と 2x-y＋1 の交点を通る、というイメージは分かりますが、

＞ その交点を通る直線全てを表せる理由が分かりません。

全ては表せないですよ。 x＋y-4=0 がダメですから。
x＋y-4=0 も含めて x＋y-4=0 と 2x-y＋1=0 の交点を通る
全ての直線を表したいのなら、 k(x＋y-4)+h(2x-y＋1)=0
とすればよいですね。

k(x＋y-4)+(2x-y＋1)=0 が成り立つのは、
x＋y-4=2x-y＋1=0 以外では
k = -(2x-y＋1)/(x+y-4) のときですね。
x＋y-4=0 なのに 2x-y＋1=0 でなかったら、
対応する k が存在しないことになります。

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/04/30 21:32

k(x+y-4)+2x-y+1=0

k(x+y-4)=y-2x-1
直線
x+y-4=0
上にない
任意の点を(a,b)
とすると
a+b-4≠0
だから
k=(b-2a-1)/(a+b-4)
と
すると
k(a+b-4)=b-2a-1
k(a+b-4)+2a-b+1=0
だから
直線
k(x+y-4)+2x-y+1=0
は(直線x+y-4=0上にない任意の)
点(a,b)
を通るから
直線
k(x+y-4)+2x-y+1=0
は
交点を通る直線(x+y-4=0以外)全てを表せる

直線x+y-4=0上の点で交点以外の点
直線2x-y+1=0上にない点を(a,b)とすると

a+b-4=0
2a-b+1≠0
だから
k(a+b-4)+2a-b+1=2a-b+1≠0
だから
(a,b)は
直線
k(x+y-4)+2x-y+1=0
上の点でない
直線
k(x+y-4)+2x-y+1=0
は交点以外のx+y-4=0上の
点(a,b)を通らないから
x+y-4だけは表さない

No.2 回答者： kairou 回答日時： 2021/04/30 21:32

NO1 です、こんなサイトがありました。

https://math.nakaken88.com/textbook/expert-line- …
又は、

No.1 回答者： kairou 回答日時： 2021/04/30 21:15

質問文が変ですよ。

k(x+y-4)+2x-y+1=0 は 直線を表す式ですが、
x+y-4 と 2x-y+1 は 単なる式で 直線を表しませんが。
x+y-4=0, 2x-y+1=0 ですよね。
この2直線の交点は (1, 3) ですね。
これを 初めの式に代入すれば 0k+0=0 で
k は どんな値でも成り立ちますね。
つまり k をどんな値にしても、(1, 3) を通ると云う事になりませんか。
見当違いでしたら、ごめんなさい。