『因数に分解するということ』

今さらながら、多項式の因数分解についての疑問です。
例えば、４x⁴＋３x³＋７x²＋３ｘ＋４…①　なる多項式を因数分解する場合、普通は次のようにすると思います。①＝(x²＋ｘ＋１)(４x²ーｘ＋４)…②
しかし、虚数を使ってもよいとするなら、
②＝{ｘ＋(１+√３i)/2}{ｘ＋(１－√３i)/2}{２ｘ－(1＋√３i)/4}{２ｘ－(１－√３i)/4}
と表されます。一般に、問題として、何の条件もなくただ多項式が与えられて、因数分解せよ、と指示されている場合、どこまで分解するものなのか、迷うようになっています。
変数ｘやｙの1次式になるまで行うものなのか、それとも、2次以上であっても、虚数が表れない、実数範囲で分解するものなのでしょうか？

質問者からの補足コメント

• 念のためというところですが、例えば、x－1=(√ｘ＋１)(√ｘ－１)　といった形にまで分解することは、恐らくですが、よほど、条件が付かない限りは、まず、行わないという認識でよろしいのですね？

  No.6の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2022/06/28 11:41

No.9 回答者： masterkoto 回答日時： 2022/06/28 13:04

Aⁿ-1＝(A-1)(Aⁿ⁻¹+Aⁿ⁻²+…+1)

ですから
x-1＝(√x-1)(√x+1)
の類は
xの平方根を元の式とする他に
xの1/3乗を元にした式
1/4乗
…
など
元にする乗数をいくらでも変更することが可能で
それでは式変形の方法が際限ありませんよね
だから、通常はx-1まで持ってきたら
そこまでで止めますよね

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2022/06/29 08:43

No.8 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/06/28 02:41

「因数分解しろ」って問題だと, 多くの場合係数としては有理数ないし整数 (実質的には同じことも多い) を想定すると思う. とはいえ「数学」という観点では数検 1級の 121回の問題

x^14+x^7+1 を係数が「実数の範囲で」因数分解しろ
のように明記しておくことが望ましい.

と問題ではまともだったのに, 想定した解答では整数の範囲でしか因数分解していないというバカをやらかしている. しかも本当に「整数の範囲で因数分解しろ」って問題ならむしろ作ったやつがおかしい (余因子が因数分解できないことを示すのがとってもたいへん) というちぐはぐさ.

No.7 回答者： kairou 回答日時： 2022/06/27 15:48

多分 中学校までは、因数分解は 正数の範囲の筈です。

高校になっても 計算問題としては 有理数の範囲まででしょう。

文章問題や図形の問題では、無理数の範囲まで広げないと ダメでしょう。
複素数は 問題に指示があるか、
その答えに 複素数である意味がある場合に限られると思いますよ。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2022/06/28 11:33

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/06/27 13:29

学校で教えない大切なことを、自分で見つけましたね。

御指摘のとおり、係数の範囲を指定せずに「因数分解せよ」と
要求すること自体に意味がありません。

中学高校の教科書では、「整数係数の範囲で」というのを
省略して書かないことがありますが、とんでもない話です。
どの係数の範囲で因数分解するのかは、
解く側が忖度することではなく
因数分解を要求する側が明示すべきことです。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2022/06/28 11:34

No.5 回答者： finalbento 回答日時： 2022/06/27 11:26

先の回答を一部訂正。

例えば

x^2-2

と言う式を実数の範囲で因数分解すると

(x+√2)(x-√2)

となりますが、普通はここまではやりません。なので係数および定数項が整数のn次多項式を因数分解する場合、特に断りがなければ係数や定数項が整数になる範囲で行うのが慣例だと思います。

この回答へのお礼

再度、ありがとうございます。

お礼日時：2022/06/28 11:38

No.4 回答者： masterkoto 回答日時： 2022/06/27 10:20

高校数学などでは

特に断りのない場合
整数ないしは有理数の範囲内で因数分解すればOKとされていますよ

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2022/06/28 11:37

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/06/27 09:50

実係数の多項式は、実係数の1次式と2次式の積に分解できることが

保証されています。

2次式まで分解できてしまえばだいたい用は足りますが
後は因数分解の目的次第ですね。

試験問題で単に因数分解せよとしか書いてないなら
実根をもつ2次式はさらに分解した方がよいかもしれません。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2022/06/28 11:35

No.2 回答者： finalbento 回答日時： 2022/06/27 07:28

因数分解に複素数までいいとすると、任意のn次多項式はn個の一次式の積に因数分解できる事が証明されています。

なので特に指示がない場合は因数分解と言えば「実数の範囲で行う」と言う事になっています。

(教科書等でもそうなっているはずです)

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2022/06/28 11:36

No.1 回答者： ひなげしのはな 回答日時： 2022/06/27 07:17

2次方程式の質問に

代えてもらえませんかッ？