A 回答 (4件)
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No.4
- 回答日時:
グラフにあるように、放物線 y=x²+2x と直線 y=t が共有点をもつのは、
tの値が(1)で求めた t≧-1の範囲にあるときです。
t²-at-6=0…①
①は異なる2つの実数解を持ちますが、
その2つの解のそれぞれが-1より大きいか小さいかにより、
グラフの関係が②の3通りに場合分けされます。
そこで、①の2つの実数解について調べるために、
f(t)=t²-at-6 とおいて、y=f(t) のグラフを考えます。
t軸との交点がー1より大きいか小さいかを知りたいので、
f(-1) の符号で分類します。
質問の(ⅱ)の部分について
y=f(t) のグラフは下に凸の放物線でt軸と2点で交わっていますが、
f(-1)>0 という条件だけでは、
t軸との2つの交点ともー1より大きい場合のグラフと
t軸との2つの交点ともー1より小さい場合のグラフが
考えられます。
それを区別するために軸 a/2>-1 を確認しています。
もしかすると、f(0)=-6<0 なので不必要と思われたのかも
しれませんが、軸の代わりにf(0)の確認でもかまいません。
No.3
- 回答日時:
(i)
f(-1)=0となるのは
a=5のときであり,
f(t)
=t^2-5t-6
=(t+1)(t-6)
だからf(t)=0の解はt=-1,t=6の2つ
x^2+2x=t=-1のxの解は1個
x^2+2x=t=6のxの解は2個
だから
f(x^2+2x)=0の
実数解は1+2=3個
(ii)
f(-1)>0となるのは
a>5のときであり
a>5
↓両辺を2で割ると
a/2>5/2
↓5/2>-1だから
∴
-1<a/2
f(-1)>0>f(a/2)
だから中間値の定理から
-1<t1<a/2
f(t1)=0となるt1がある
f(a+1)=a-5>0
a/2<a+1
f(a/2)<0<f(a+1)
だから中間値の定理から
a/2<t2<a+1
f(t2)=0となるt2がある
だからf(t)=0の解はt=t1,t=t2の2つ
-1<t1<a/2<t2<a+1
x^2+2x=t1>-1の解は2個
x^2+2x=t2>-1の解は2個
だから
f(x^2+2x)=0の
実数解は2+2=4個
No.2
- 回答日時:
もとの方程式は x の 4次方程式です。
一般の 4次方程式の解の個数なんて、気が遠くなるような場合分けですが、
この問題は、t=x^2+x, t^2-at-6=0 と 2個の 2次方程式に分解されています。
t の値が異なれば共通の x が現れることは無いので、
a で場合分けした t^2-at-6=0 の解 t の個数と
t で場合分けした t=x^2+x の解 x の個数から
もとの 4次方程式の解 x の個数を勘定することができます。
(1)での考察から、
t>-1 のとき t の値 1個に対して x の値 2個、
t=-1 のとき x の値 1個、
t<-1 のとき t の値 1個に対して x の値 0個が対応することが判ります。
あとは、t^2-at-6=0 が t>-1 と t=-1 の各範囲に何個の解を持つか
を a の値で分類すればいいですね。
ここで行き着いた問題は、2次関数と 2次方程式の範囲では
標準的な問題です。一度くらい、問題集で類題を見たことないですか?
g(t)=t^2-at-6 と置きましょう。
g(t)=0 が t=-1 に解を持つのは、g(-1)=0 すなわち a=5 のときです。
g(t)=0 が t>-1 に持つ解の個数は...
g(t)=0 が t>-1 に解を 1 個持つのは、
g(-1)≦0 のとき、
g(t)=0 が t>-1 に解を 2 個持つのは、
g(t) の判別式が ≧0 であり、かつ
g(-1)>0 であり、かつ
g(t) の軸が >-1 のときです。
g(t) の軸と -1 を比較する意味は、
g(t) の判別式が ≧0 であり、かつ
g(-1)>0 であり、かつ
g(t) の軸が <-1 のとき
g(t)=0 の解が t<-1 の範囲に 2個になることと
上記を見比べれば解るのではないでしょうか。
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