aは実数の定数で、 (x²+2x)−a(x²+2x)−6＝0 …(✳) においてt＝x²+2x とお

aは実数の定数で、
(x²+2x)−a(x²+2x)−6＝0　…(✳)
においてt＝x²+2x
とおいたときの問題です。

写真の解説の問い⇩
(✳)の異なる実数解のうち−4≦x≦3を満たすものがちょうど3個であるためのaの条件を求めよ

ここからが質問です。
写真の解説において、（ⅰ）の場合でまずt＝8を解にもつときを考えています。
なぜこれを示す必要があるのかと、t＝-3/4が8≦x≦15を満たさないことがどう次に繋がっているのかを教えてください。

質問者からの補足コメント

• 問題の方程式を書き間違えていました。正しくはこちらです。
  (x²＋2x)²−a(x²＋2x)−6＝0　…(✳)

    補足日時：2023/02/16 07:11

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/02/16 20:34

「t=-3/4が8≦x≦15を満たさない」は誤りです、正しくは

「t=-3/4が8≦t≦15を満たさない」です

-4≦x≦3
(x^2+2x)^2-a(x^2+2x)-6=0…(*)
t=x^2+2x

t^2-at-6=0…(*1)

t<-1,or,15<rのとき　x^2+2x=tとなる解xは無い
t=-1,or,8<t≦15のとき　x^2+2x=tとなる解xは1個
-1<t≦8のとき　x^2+2x=tとなる解xは2個

(*)の異なる実数解のうち−4≦x≦3を満たすものがちょうど3個であるとすると

(*1)の異なる実数解をt1,t2とする

x^2+2x=t1となる解xは1個
x^2+2x=t2となる解xは2個
1+2=3
または
x^2+2x=t1となる解xは2個
x^2+2x=t2となる解xは1個
2+1=3
の
どちらかでなければならない

x^2+2x=t1となる解xは1個
x^2+2x=t2となる解xは2個
とすると
t1=-1,or,8<t1≦15
-1<t2≦8

(i)(8<t1≦15)かつ(-1<t2≦8)
または
(ii)(t1=-1)かつ(-1<t2≦8)
のいずれか

(i)の場合
t1,t2はt^2-at-6=0…(*1)の解だから
t1t2=-6
t1=-6/t2
↓8<t1≦15だから
8<-6/t2≦15
↓各辺に-t2>0をかけると
-8t2<6≦-15t2
-8t2<6
↓両辺に8t2-6を加えると
-6<8t2
↓両辺を8で割ると
-3/4<t2
6≦-15t2
↓両辺に15t2-6を加えると
15t2≦-6
↓両辺を15で割ると
t2≦-2/5
↓これと-3/4<t2から
-3/4<t2≦-2/5
↓これに8<t1≦15を加えると
8-3/4<t1+t2≦15-2/5
↓8-3/4=29/4,t1+t2=a,15-2/5=73/5だから
∴
29/4<a≦73/5

(ii)の場合
t1,t2はt^2-at-6=0…(*1)の解だから
t1t2=-6
↓t1=-1だから
-t2=-6
t2=6
↓これにt1=-1を加えると
t1+t2=5
↓t1+t2=aだから
∴
a=5

No.4 回答者： stomachman 回答日時： 2023/02/16 19:57

写真のやつはよく読んでないが、なんか変に難しくいじくっている気がするなあ。

素直に
　　s = x + 1
とすると、−4≦x≦3 とは−3≦s≦4 ということであり、
　　t = s² - 1
ですよね。さらに
　　u = s²
と書くと、問題の方程式は u の2次方程式
　　(u - 1)² - a(u - 1) - 6 = 0
に他ならない。その解をu₁, u₂とすると、「−3≦s≦4 の範囲に3つの解s₁,s₂,s₃がある」というのは、
　　0＜u≦3² の範囲にひとつの解u₁ があり（だからs₁,s₂=±√u₁）
　　3²＜u≦4² の範囲にもうひとつの解 u₂がある。（だからs₃=√u₂）
ということですよね。特別ややこしいことはないと思うなあ。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/02/16 07:05

あーこれは面倒くさい。

−4≦x≦3 という範囲は t＝x²+2x の軸である x=-1 について対称じゃありませんね。
ということは、４次方程式 (＊) が ３個の実数解を持つパターンとして、
[1]　t=-1 に １個と t>-1 かつ −4≦x≦2 に ２個の解を持つ
[2]　t>-1 かつ−4≦x≦2 に ２個と t>-1 かつ 3<x≦2 に 1個の解を持つ
の 2通りがあるわけです。
それぞれの場合に対応する a の範囲を求めてゆくと...　ああ、やりたくない。

No.2 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2023/02/15 21:00

(✳)は2次方程式なので、解が3個あるなんて事はありません。

(✳)を間違えてるんじゃ？

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2023/02/15 20:47

問題の写し間違いじゃありませんかね。